שמיני, מרחב פאזה, מכניקה המילטונית: קבלה ופיזיקה של שבע ושמונה

מאת אלכסנדר פולטורק

תקציר

פרשת שמיני מתארת את היום השמיני המכריע של חנוכת המשכן, הרגע שבו האש האלוהית יורדת סוף סוף. פרשנים קלאסיים רואים בניגוד בין שבעת הימים הראשונים לבין היום השמיני את ההבדל בין הטבעי לעל-טבעי. מאמר זה בוחן מחדש את הסמליות הזו מנקודת המבט של הפיזיקה המודרנית. ראשית, הוא מעריך מחדש את הקשר המסורתי בין שבע ל"סדר הטבעי". שנית, הוא מציע כי ששת הקואורדינטות המרחביות-תנע של מרחב הפאזה הקלאסי, יחד עם הזמן, מספקות אנלוגיה פיזיקלית מדויקת יותר לשבע מידות מאשר ששת הכיוונים הרגילים של המרחב בתוספת ציר הזמן. לבסוף, הוא חוקר הדהוד בלתי צפוי בין אינטגרל הפעולה ההמילטוני לבין שם ה', ומציע כי עקרון הפעולה הסטציונרית משקף את האישור המקראי, "כי אני ה' לא שניתי". בכך, הוא מציע פרספקטיבה חדשה על כיצד היום השמיני של שמיני רומז לתכליתיות - השפע המכוון שאינו יכול לנבוע מתוך הטבע עצמו אלא חייב להינתן מבחוץ.      

1. מבוא: שמיני ותעלומת היום השמיני

ספר ויקרא מגיע לשיאו בחנוכת המשכן עם נרטיב דרמטי (ויקרא ט:כג-כד). במשך שבעה ימים, משה לבדו הקים, פירק והדריך. ביום השמיני (שמיני), אהרן כיהן, אש משמיים אכלה את הקורבנות, והנוכחות האלוהית התגלתה. כלי יקר^[1] ור’ בחיי בן אשר^[2] קוראים עיכוב זה כסמלי: שבע מסמל את המחזור הסגור של הטבע, בעוד שמונה מסמן סדר שחורג ממנו. עם זאת, הדוגמאות התומכות הרגילות – שבעת ימי השבוע, שבע שנות מחזור השמיטה (שמיטה), ושבע שמיטות של היובל – שייכות לספירת זמן ברית, ולא לפיזיקה. האם העולם הנברא עצמו לוחש את סוד השבע והשמונה?

2. מדוע שבע? אתגר ראשוני

מלבד כמה מקריות מקסימות – שבעה צבעים בספקטרום הנראה, שבעה צלילים בסולם הדיאטוני – חוקי פיזיקה קשיחים נדירות מעדיפים את המספר 7. גם הכתובים אינם מרמזים שאופטיקת הקשת או אקוסטיקה מוזיקלית הכתיבו את הבחירה האלוהית בשבוע. לכן, ההסבר המקובל מסתכן במעגליות: קיום דתי מוכיח את ה”טבעיות” של שבע, אשר בתורו מאשר את הקיום הדתי. הסבר יציב יותר צריך למקם את המספר בארכיטקטורה של הטבע עצמו.

3. מרחב, זמן וספירות

כפי שהסברתי בפירוט במאמרי הקודם, “תעלומת היום השמיני“, המספר שבע קשור לששת הכיוונים במרחב, בתוספת זמן; המספר שמונה מוסיף מטרה. בקצרה, אנו חיים במרחב תלת-ממדי. המספר 6 משחק תפקיד משמעותי במרחב תלת-ממדי. במרחב כזה, לכל קובייה יש שישה פנים. דרך אחרת להסתכל על זה היא שבמרחב תלת-ממדי, אנו נתקלים בשישה כיוונים.

קבלה מזמן קישרה את שש המידות – חסד, גבורה, תפארת, נצח, הוד, ויסוד – עם ששת ה”עומקים” המנויים בספר יצירה א:ה: למעלה, למטה, מזרח, מערב, צפון ודרום. הוספת מלכות (המזוהה לעתים קרובות עם זמניות) מניבה שבע.

בקבלה, ששת הכיוונים הללו מקבילים לשש מידות (“מידות”, ספירות תחתונות): חסד, גבורה, תפארת, נצח, הוד, יסוד—הנתפסות בקבלה הלוריאנית כששת הקצוות של פרצוף זעיר אנפין (ז”א). אכן, הקבלה רואה את המרחב כנבנה משש מידות אלו. הזמן מגיע מהמידה האחרונה (מידה)—מלכות—הנוקבא (בת הזוג הנקבית) של הז”א.

ששת הכיוונים במרחב (או שש מידות של הז”א) בתוספת זמן (או מלכות) מרכיבים את המספר שבע. זוהי דרך אחת להצדיק את המספר שבע כסמל לסדר הטבעי.

המספר שמונה, מאידך, מוסיף מטרה. מטרה אינה יכולה להיות תופעה מתהווה ועליה להיות מוטלת על המערכת מבחוץ – או על ידי בני אדם, אם המערכת היא מעשה ידי אדם, או על ידי הקב”ה, אם המערכת נעשתה או נקבעה על ידי הקב”ה – בכל מקרה, היא חייבת לבוא מבחוץ.

4. מרחב פאזה

בנוסף למקבילה המתוארת לעיל, ברצוני להציע גישה חלופית להגעה למספר שבע שמציעה התאמה טובה יותר. לשם כך, עלינו לשקול את מה שידוע כ”מרחב פאזה”.

בפשטות, מרחב פאזה הוא דרך לתאר באופן מלא את מצבה של מערכת פיזיקלית על ידי סימון כל תכונותיה העיקריות בו-זמנית.^[3] כדי לציין את המיקרו-מצב של חלקיק נקודתי, רושמים הן את מיקומו (q_x,q_y,q_z) והן את התנע שלו (p_x,p_y,p_z). התוצאה היא יריעה שש-ממדית Γ. (ראה את מאמרי, “הסמליות של המנורה“.

ממדיות מרחב הפאזה קשורה ישירות לדרגות החופש של מערכת. דרגות חופש מתייחסות למספר הפרמטרים העצמאיים הנדרשים כדי לציין באופן מלא את מצבה של מערכת פיזיקלית. למשל, לחלקיק בודד הנע במרחב תלת-ממדי יש שלוש דרגות חופש למיקומו (קואורדינטות x, y, z) ושלוש נוספות לרכיבי התנע או המהירות שלו (p_x, p_y, p_z). שני השלשות הללו של קואורדינטות במרחב הפאזה נקראות “קואורדינטות מוכללות” ומסומנות באופן מסורתי כ-q₁,q₂,q₃,p₁,p₂,p₃. באופן מכריע, שש הקואורדינטות המוכללות הללו מתחלקות באופן טבעי לשתי שלשות מקבילות—מרחב-q ומרחב-p—המשקפות את שתי השלשות המרכיבות את גוף זעיר אנפין בתרשים עץ חיים.

ממדיות מרחב הפאזה היא אז פי שניים ממספר דרגות החופש. זה קורה מכיוון שעבור כל דרגת חופש (כל דרך עצמאית שבה המערכת יכולה לנוע או לשנות תצורה), עלינו לעקוב אחר המיקום והתנע שלה. לכן, עבור מערכת עם N דרגות חופש, מרחב הפאזה יהיה בעל 2N ממדים.

כפי שאנו רואים, המספר 6 מופיע באופן טבעי במרחב הפאזה כממד שלו עבור חלקיק בודד הנע במרחב תלת-ממדי. אנו יכולים גם לשער שששת הקצוות של פרצוף זעיר אנפין מייצגים שישה ממדים במרחב הפאזה.

אם אעז לומר, הייתי מציע שמרחב הפאזה מתיישר יותר עם המודל הספירתי של הקבלה מאשר המרחב התלת-ממדי הרגיל שלנו. למרות שמקור הרעיון שששת כיווני המרחב מקבילים לששת הקצוות של זעיר אנפין חוזר לפחות לספר יצירה, אחד הספרים העתיקים והמוסמכים ביותר בקבלה, הקבלה זו משמיטה כמה פרטים. ששת הקצוות של זעיר אנפין—שש הספירות (או המידות) מחסד עד יסוד—מסודרות בשתי שלשות: חסד–גבורה–תפארת ונצח–הוד–יסוד. בתיאור הגרפי של הספירות כעץ חיים, שתי השלשות הללו מיוצגות על ידי שני משולשים זהים, האחד ממוקם מתחת לשני.

בשני התיאורים—כשתי שלשות או שני משולשים—הסימטריה של 3+3 היא בלתי נמנעת. מבנה זה נעדר במרחב הפיזי התלת-ממדי. יתר על כן, השלשה השנייה של הספירות, נצח–הוד–יסוד, דומה מאוד לשלשה הראשונה, חסד–גבורה–תפארת. גם חסד וגם נצח ממוקמים בעמוד הימני של עץ הספירות, המייצג כוחות צנטריפטליים, נטיות חצוניות, והרצון לתת. מאידך, גם גבורה וגם הוד ממוקמים בעמוד השמאלי של עץ הספירות, המייצג כוחות צנטריפוגליים, נטיות פנימיות, והרצון לקבל. תפארת ויסוד ממוקמים בעמוד המרכזי של עץ הספירות, המייצג את האיזון בין הנטיות המנוגדות ואת ההרמוניה הנובעת מכך. אז, מה הופך את השלשה השנייה ל”נמוכה” יותר מהשלשה הראשונה? הספירות של השלשה השנייה הן נגזרות של הספירות של השלשה הראשונה במובן שהן מבטאות בעיקרון את אותו הדבר עם הבדל אחד—הספירות של השלשה הראשונה נותנות (חסד) או מונעות (גבורה) ללא התחשבות במקבל (מלכות); הספירות של השלשה השנייה נותנות (נצח) או מונעות (הוד) בהתאם ליכולות ולצרכים של המקבל (מלכות).

באופן מדהים, יחס זה משתקף במדויק במרחב הפאזה. השלשה השנייה של הקואורדינטות המוכללות, p₁,p₂,p₃, אכן מורכבת מנגזרות של השלשה הראשונה, q1,q2,q3. השלשה הראשונה בזעיר אנפין רק קובעת את עמדותיהם או נטיותיהם הטבעיות לתת, למנוע, או להרמן. באופן דומה, קואורדינטות-q רק קובעות את מיקום החלקיק במרחב. השלשה השנייה מווסתת את הפעולות כלפי המקבל. באופן דומה, קואורדינטות התנע (p) מודדות את ההשפעה הצפויה של החלקיק על סביבתו—את הדחף שהוא יעביר.

ההתאמה כה מדויקת שהיא גורמת לי לחשוב שאולי ניתן למדל מתמטית את הספירות כפונקציות, כאשר מלכות (המקבל) משמשת כמשתנה בלתי תלוי המקביל לזמן, וכל שאר הספירות מומדלות כפונקציות של מלכות (בעוד שבמרחב הפאזה p ו-q הן פונקציות של הזמן). זה מתאים היטב לתפיסה הקבלית שהזמן מקורו במלכות. במקרה זה, השלישייה השנייה של קצוות זעיר אנפין—ספירות נצח–הוד–יסוד—ניתן לחשוב עליהן כנגזרות ראשונות של ספירות השלישייה הראשונה של ספירות חסד–גבורה–תפארת ביחס למלכות.^[4] מודל זה עוזר להבין את הדינמיקה הרוחנית של הספירות בדיוק מתמטי.

בכל מקרה, 6 הקואורדינטות המוכללות של מרחב הפאזה יחד עם הזמן מרכיבים את המספר 7, אשר אכן נראה כמייצג את התהליך הטבעי (עבור חלקיק בודד).

5. מכניקה המילטונית

מכניקה המילטונית מתארת דינמיקה במונחים של פונקציית המילטון, המייצגת את האנרגיה הכוללת של המערכת.^[5] הפעולה פונקציונל הפעולה הוא האינטגרל שלה לאורך מסלול.^[6] הטבע בוחר את המסלול שעבורו δS = 0. במילים אחרות, הפעולה היא סטציונרית לאורך המסלול האמיתי. עקרון הפעולה הסטציונרית הוא העיקרון המנחה של המכניקה ההמילטונית. (ראו את המאמרים שלי, “עקרון הפעולה המינימלית I“, “עקרון הפעולה המינימלית II — מבוא“, “עקרון הפעולה המינימלית III — היסטוריה“, ו-“עקרון הפעולה המינימלית — IV מכניקה לגרנז’ית“.)

נראה כי שם ה’ בן ארבע האותיות (י-ה-ו-ה) מקביל, כביכול (כביכול), לפונקציונל הפעולה. הקבלה מייחסת אופי כולל לשם בן ארבע האותיות. היוד מגלמת את החכמה; הה’ הראשונה את הבינה; הוו, שגימטרייתה שש, מאגדת את שש המידות; הה’ האחרונה מייצגת את המלכות. שם ה’ מסכם כך את כל התהליך הספירתי.

הנבואה, “כי אני ה’ (י-ה-ו-ה) לא שניתי,” (מלאכי ג:ו) מכריזה על קביעות ה’. אם קוראים כאנלוגיה מטפורית של השם—אינטגרל המקפל כל התגלות אנרגטית—אזי עקרון הפעולה הסטציונרית הופך להד פיזיקלי של אותו עקרון מקראי של אי-השתנות. העולם הנברא מתפתח לאורך מסלולים המשאירים את החותמת האלוהית הנצחית בלתי משתנה.

6. הקואורדינטה השמינית: מטרה כפרמטר חיצוני

מרחב הפאזה בתוספת הזמן מספיקים לקודד כל התפתחות חוקית. מה שהם אינם מקודדים הוא תכלית—מטרה כוללת. תכליתיות, מעצם הגדרתה, מוטלת מחוץ למערכת הסגורה. בסיפור שמיני, אותה מטרה מתגלה באש השמימית ביום השמיני. השלמות האדריכלית והטקסית של המשכן עדיין דרשה מתנה חיצונית מלמעלה כדי לפרוץ לחיים. באופן דומה, הפיזיקה אינה מכירה משוואה למטרות; היא יכולה לעקוב אחר פיזור האנרגיה, אך לא מדוע עליה להגשים ערך מסוים. המספר שמונה, לפיכך, מצביע על המשתנה החיצוני המטה מנגנון שלם לתפקוד משמעותי.

מסקנה

פרשנים קלאסיים חשו באינטואיציה שהמספר שבע מסמל את מחזור הטבע ושמונה את התעלותו. המכניקה המודרנית מעצבת מחדש אינטואיציה זו בקווים חדים יותר. שש הקואורדינטות הקנוניות של מרחב הפאזה, צועדות עם הזמן, מניבות מבנה שביעוני מתמטי מדויק המתיישר עם המידות הקבליות באופן הדוק יותר מאשר מודל ששת הכיוונים הישן. יתר על כן, אינטגרל הפעולה ההמילטוני מזמין זיהוי נועז עם שם ה’, הופך את עקרון הפעולה הסטציונרית למדרש מדעי על מלאכי ג:ו. כאשר התורה מכריזה ביום השמיני ש”ותצא אש מלפני ה'”, היא מאותתת על הגעת המטרה—פלישה שהפיזיקה אינה יכולה לחזות, אך שאפשרותה נראית מוכנה להתארח בפורמליזם שלה עצמו.

ביבליוגרפיה

רבנו בחיי בן אשר. פירוש על התורה. ויקרא ט.

כלי יקר. פירוש על ויקרא ט:כג-כד.

פולטורק, אלכסנדר. “תעלומת היום השמיני“, QuantumTorah.com, 14 באפריל 2024, (https://quantumtorah.com/the-mystery-of-the-eighth-day/).

ספר יצירה. מהדורה ביקורתית ותרגום לאנגלית מאת אריה קפלן. ניו יורק: וייזר, 1990.

מלאכי. תנ”ך: תרגום חדש של כתבי הקודש על פי המסורה. פילדלפיה: החברה היהודית לפרסומים, 1985.

פולטורק, אלכסנדר. “סמליות המנורה“, QuantumTorah.com, 23 ביוני 2024 (https://quantumtorah.com/the-symbolism-of-the-menorah/).

גולדשטיין, הרברט. מכניקה קלאסית. מהדורה 3. רידינג, מסצ’וסטס: אדיסון-וסלי, 2002.

לנדאו, ל.ד., וא.מ. ליפשיץ. מכניקה. כרך 1 של קורס בפיזיקה תיאורטית. מהדורה 3. אוקספורד: באטרוורת-היינמן, 1976.

ליבוף, ריצ’רד. תורת הקינטיקה: תיאורים קלאסיים, קוונטיים ויחסותיים. ניו יורק: ספרינגר, 2003.

פולטורק, אלכסנדר. “עקרון הפעולה המינימלית I“, QuantumTorah.com, 4 בספטמבר 2023 (https://quantumtorah.com/principle-of-least-action-i/); ראו גם “עקרון הפעולה המינימלית II — מבוא“, 6 בספטמבר 2023 (https://quantumtorah.com/principle-of-least-action-ii-introduction/), “עקרון הפעולה המינימלית III — היסטוריה“, 10 בספטמבר 2023 (https://quantumtorah.com/principle-of-least-action-iii-history/), ו-“עקרון הפעולה המינימלית — IV מכניקה לגרנז’ית“, 2 באוקטובר 2023 (https://quantumtorah.com/principle-of-least-action-iv-lagrangian-mechanics/).

זוהר. ספר הזוהר, בעריכת דניאל מט. סטנפורד: הוצאת אוניברסיטת סטנפורד, 2004-2017.

הערות שוליים

[1] רבי שלמה אפרים בן אהרן לונטשיץ (“כלי יקר”) (בערך 1550 – בערך 1625) היה מקובל ופרשן מקרא בולט שחי בצפת והוא ידוע בעיקר בזכות פירושו המיסטי לתורה הנושא את השם “כלי יקר”.

[2] רבינו בחיי בן אשר (בערך 1255 – בערך 1340) היה רב ספרדי בולט, מקובל ופילוסוף מוסרי הידוע בעיקר בזכות ספרו המוסרי המשפיע, חובות הלבבות ופירושו למקרא.

[3] דמיין שאתה עוקב אחר כדור קופץ. כדי לתאר במלואו את מצבו בכל רגע, עליך לדעת גם היכן הוא נמצא (מיקומו) וגם באיזו מהירות הוא נע (מהירותו). מרחב הפאזה הוא “מפה” מתמטית המראה את שתי התכונות הללו בו-זמנית. כל מצב אפשרי של הכדור שלך הופך לנקודה בודדת במרחב פאזה זה. כשהכדור קופץ, הוא מתווה מסלול דרך מרחב זה. עבור הכדור הקופץ, היה לנו גרף דו-ממדי שבו ציר אחד מראה מיקום והציר השני מראה מהירות. בדוגמה פשוטה זו, שלושה ממדים של מרחב (x,y,z) קובצו לממד יחיד (x), ושלושת רכיבי המהירות (v_x,v_y,v_z) קובצו לרכיב יחיד (v_x). אם היינו מציירים את כל הרכיבים הללו, היינו צריכים לתאר מרחב שש-ממדי, שאי אפשר להתאים למישור. אבל באופן כללי, לחלקיק בודד יש מרחב פאזה שש-ממדי שבו שלושת הממדים הראשונים הם ממדי מרחב רגילים ושלושת הממדים האחרים מייצגים שלושה רכיבים של התנע (המכפלה של מסה m ומהירות v) של החלקיק. כוחו של מרחב הפאזה הוא בכך שהוא חושף דפוסים שאינם ברורים כשמסתכלים על מיקום או מהירות בנפרד. למשל, מטוטלת המתנדנדת הלוך ושוב יוצרת לולאה סגורה במרחב הפאזה, המראה את התנהגותה החוזרת.

[4] אם הקואורדינטות המוכללות מסומנות כ-q₁,q₂,q₃, הנגזרות הראשונות שלהן ביחס לזמן מסומנות באופן מסורתי כנקודה מעל האות: , . לכן, , . באופן דומה, אם נסמן את הספירות כדלהלן: חסד = x, גבורה = g, תפארת = t, נצח = n, הוד = h, ו-יסוד = y, אז נוכל לכתוב: , , כאשר הנקודה מעל האות מסמנת את הנגזרת הראשונה ביחס למלכות.

[5] במכניקה המילטונית קלאסית, ההמילטוניאן עבור חלקיק בודד הוא פונקציה המייצגת את האנרגיה הכוללת של החלקיק. היא מבוטאת בדרך כלל במונחים של קואורדינטות מוכללות של החלקיק (מיקום) והתנע המצומד המתאים להן. עבור חלקיק בודד בעל מסה (m) הנע במרחב תלת-ממדי תחת השפעת שדה אנרגיה פוטנציאלית (V(q), כאשר (q = (q₁, q₂, q₃) = (x, y, z)) הן הקואורדינטות הקרטזיות, ההמילטוניאן (H) ניתן על ידי: H(q, p, t) = T(p) + V(q, t), כאשר:

• T(p) היא האנרגיה הקינטית של החלקיק, המבוטאת כפונקציה של התנע המצומד שלו p = (p₁, p₂, p₃) = ( p_x, p_y, p_z). בקואורדינטות קרטזיות, האנרגיה הקינטית היא:

• V(q, t) הוא האנרגיה הפוטנציאלית של החלקיק, שיכולה להיות פונקציה של מיקומו (q) ואולי גם של הזמן (t) אם הכוחות תלויים בזמן.

לכן, ההמילטוניאן עבור חלקיק בודד בקואורדינטות קרטזיות הוא:

בקואורדינטות עקומות כלליות יותר (q_i), צורת האנרגיה הקינטית במונחי התנע המצומד (p_i) תהיה שונה, בהתאם לטנזור המטרי של מערכת הקואורדינטות. עם זאת, ההגדרה היסודית של ההמילטוניאן כסכום של אנרגיה קינטית ופוטנציאלית נשארת זהה. התנע המצומד (p_i) מוגדר באופן כללי כ-, כאשר L הוא הלגרנז’יאן של המערכת.

[6] הפונקציונל של הפעולה הוא האינטגרל שלו לאורך מסלול:

© 2025 אלכסנדר פולטורק. כל הזכויות שמורות.