הוצג בכנס הבינלאומי לתורה ומדע ב

אוניברסיטת מיאמי הבינלאומית ב־18 בדצמבר 2005

אלכסנדר פולטורק

מבוא.

זהו השלישי בסדרת מאמרים שבהם אני מנסה לשרטט גישות שונות ליישוב הסתירה בין גיל קוסמולוגי של היקום המוערך כיום ב־13.75 מיליארד שנים לבין המסורת היהודית הקובעת את הגיל הזה בפחות מששת אלפים שנים (5770 נכון ליום כתיבת שורות אלה, ליתר דיוק).

המאמר הראשון [1] התמודד עם בעיה זו מנקודת המבט של פרשנות קופנהגן של מכניקת הקוונטים, והציע שהיו שתי צורות קיום נפרדות—פיזיקלית ופרוטו־פיזיקלית—ושהצופים המודעים הראשונים, אדם וחוה, קרסו את פונקציית הגל האוניברסלית, והביאו את העולם מקיום פרוטו־פיזיקלי חסר צורה לקיום פיזיקלי מוחשי. גישה זו מובילה לשני צירי זמן נפרדים ולשני גילאים לגיטימיים ליקומנו: האחד, הגיל הקוסמולוגי של הקיום הפרוטו־פיזיקלי לפני קריסת פונקציית הגל, מהמפץ הגדול ועד בריאת הצופים האנושיים הראשונים; והשני, הגיל הקצר בהרבה של היקום הפיזיקלי שלנו, מבריאת הצופים האנושיים הראשונים ועד כעת.

המאמר השני [2] בסדרה ניגש לבעיה זו מנקודת המבט של פרשנות העולמות הרבים של מכניקת הקוונטים. באופן לא מפתיע, הגענו שוב לשני צירי זמן: ראשית, הגיל הקוסמולוגי של הרב־יקום מהמפץ הגדול ועד הצופים האנושיים הראשונים, שבחרו את היקום שבו אנו נמצאים על בסיס העיקרון האנתרופי; והגיל השני, מאותו זמן ועד כעת.

במאמר זה, אנו ניגשים לגיל היקום ברמה יסודית יותר, חוקרים את טבעו של הזמן עצמו. באופן מפתיע, גם כאן אנו מגיעים לשני צירי זמן: הזמן הסטטי (המטרי) מהמפץ הגדול ועד לבני האדם הראשונים, שהפעילו את זרימת הזמן על ידי פרשנות המשמעות של המבנה הרפרנטי־עצמי של היקום; והשני, הזמן הדינמי (עם זרימת זמן), מאותה נקודה ואילך.

זמן

הזמן מציב בפנינו חידה שמאתגרת את הבנתנו במשך אלפי שנים. אנו נראים מודעים לו היטב, אך כשאנו מנסים להבין אותו, אנו מגיעים למבוי סתום. אוגוסטינוס מהיפו, אולי, ניסח זאת בצורה הטובה ביותר: “Quid est ergo tempus? Si nemo ex me quærat, scio; si quærenti explicare uelim, nescio.” מהו אם כן הזמן? אם איש אינו שואל אותי, אני יודע מהו. אם ברצוני להסביר זאת לשואל, איני יודע. [3]

התחושה החולפת של הזמן נתפסת יפה בחרוז מפורסם המיוחס לאברהם אבן עזרא:

העבר אין

והעתיד עדיין

ההווה כהרף עין

דאגו מנין.

(מילולית, העבר איננו עוד; העתיד עדיין לא בא; וההווה הוא כמו הרף עין—אז מנין באה הדאגה?) או

העבר איננו כאן עוד, העתיד עדיין לא

ההווה נמשך הרף עין—

אז מנין הדאגה והחרדה?

הזמן ממלא תפקיד קריטי בקיום היקום. למעשה, עצם המושג קיום מרמז על קיום זמני, כלומר, קיום בזמן. שום דבר בעולם הפיזיקלי אינו קיים מחוץ לזמן.

הזמן במחשבה היהודית

הזמן ממלא גם תפקיד יסודי ביהדות. בחנו רק כמה דוגמאות:

• השם הקדוש ביותר של הקב”ה, הטטרגרמטון, י־ה־ו־ה, הוא ראשי תיבות של השורש העברי היה בשלושה זמנים—היה (עבר), הווה (הווה), יהיה (עתיד)—עבר, הווה ועתיד—המצביע על כך שהקב”ה, שעבורו עבר, הווה ועתיד הם אחד, מתעלה על הזמן.
• המילה הראשונה בתורה היא בראשית, שמתורגמת בדרך כלל כ”בהתחלה”. על פי הרמב”ן (נחמנידס), המילים הראשונות בתורה, “בראשית ברא אלהים את השמים” פירושן שהקב”ה (אלהים) ברא (ברא) את ההתחלה (בראשית, ההתחלה, כלומר, הזמן) ואת המרחב (שמים).
• המצווה הראשונה ממש שניתנה ליהודים במדבר סיני, לאחר יציאת מצרים, הייתה הציווי לקבוע לוח שנה על ידי קידוש החודש החדש; כלומר הציווי לשמור על הזמן.

שני היבטים של הזמן

בחינה מדוקדקת חושפת שני היבטים בזמן. יש את ההיבט המטרי, שהופך את הזמן לדמוי־מרחב ומאפשר לנו להקצות לכל אירוע את מקומו על ציר הזמן, בדיוק כמו שלכל עצם יש את הקואורדינטות שלו במרחב תלת־ממדי. זה מאפשר לנו למדוד את משך האירועים כמרחק על ציר הזמן. מבחינה זו, אין הבדל בין זמן למרחב—הזמן מתנהג כמרחב חד־ממדי. לכן קל לשלב מרחב וזמן לרצף מרחב־זמן על ידי הוספת הממד הרביעי, הזמן, למרחב התלת־ממדי המוכר לנו, ובכך ליצור רצף מרחב־זמן ארבע־ממדי, כפי שנעשה לראשונה על ידי הרמן מינקובסקי ב־1907, זמן קצר לאחר פרסום תורת היחסות הפרטית של איינשטיין ב־1905. בעוד שמינקובסקי, מתמטיקאי גרמני ממוצא יהודי, היה אולי הראשון לפתח את הגיאומטריה של מרחב־זמן ארבע־ממדי, הנקרא בצדק “מרחב מינקובסקי“, המושג של מרחב־זמן ארבע־ממדי כבר מוזכר באחד הספרים הקדומים ביותר של הקבלה, ספר יצירה [6, 1:5, עמ’ 44.]:

עומק ראשית

עומק סוף

עומק טוב

עומק רע

עומק מעלה

עומק מטה

עומק מזרח

עומק מערב

עומק צפון

עומק דרום.

“עומק ראשית, עומק סוף” מייצג את הקצוות הנגדיים של ממד הזמן. “עומק מעלה, עומק מטה; עומק מזרח, עומק מערב; עומק צפון, עומק דרום” מייצג שלושה ממדים מרחביים. (באופן מעניין, ספר יצירה מוסיף גם את הממד החמישי “המוסרי” או הרוחני: “עומק טוב, עומק רע”.[6]) במקום אחר, ספר יצירה שוב מדבר על היקום כמבנה חמישה־ממדי: שנה (“שנה”־זמן) – מקום (“מקום”־מרחב) – נפש (“נפש” רוחניות), כלומר, זמן־מרחב־רוחניות.. [6]

האפשרות לשלב מרחב עם זמן ואפילו עם ממד “רוחני” פשוטה: כל אחד מהם אורתוגונלי לאחרים (כלומר, בלתי תלוי בממדים האחרים), כל אחד מתנהג כמו מרחב מתמטי, ולכל אחד יש מטריקה, כלומר, מבנה גיאומטרי, המאפשר לנו למדוד את המרחק בין שתי נקודות בכל ממד. במרחב, זהו המרחק המרחבי בין שתי נקודות; בזמן, זהו המשך בין שני אירועים; ובממד “הרוחני”, שבו כל נקודה מייצגת מושג או רעיון והמרחק הוא מידת הדמיון המושגי (או אי־הדמיון) בין שני רעיונות. [7] תכונה מטרית זו, המשותפת למרחב, לזמן ולרוחניות היא סטטית בטבעה.

יש, עם זאת, היבט אחר של הזמן המתאר את התכונה המוכרת אינטואיטיבית של הזמן, כלומר, “זרימת” הזמן (או שטף הזמן), המייצגת את מעברו, מקרבת את העתיד, ובסופו של דבר מעבירה אותו לעבר הרחוק תמיד. התחושה של זרימה בלתי פוסקת זו מעוררת את דמות הנהר הזורם. על פי הרקליטוס [8], הזמן כנהר אינו נשאר דומם לעולם; אי אפשר לחיות שוב את אותו רגע בזמן, בדיוק כמו שאי אפשר לצעוד פעמיים לתוך אותו נהר. מרקוס אורליוס [9, ספר 4] ניסח זאת כך: “הזמן הוא כמו נהר המורכב מהאירועים שקורים, וזרם אלים; שכן ברגע שדבר נראה, הוא נסחף, ואחר בא במקומו, וגם זה ייסחף.”

זוהי הזרימה שנראית מחלקת את הזמן לעבר, הווה ועתיד, כשהזמן זורם לנצח מהעתיד לעבר, או, בהתאם לנקודת המבט שלכם, אנחנו שוחים בנהר הזמן מהעבר לעתיד. החל מבולצמן, פיזיקאים חיפשו את שטף הזמן כדי להסביר את הזרימה הבלתי פוסקת הזו של הזמן, כשחלקם מציעים ששטף הזמן הוא כוח יסודי של הטבע. תכונה זו של הזמן, עם זאת, מתריסה על תיאור מתמטי. אם נשאל, “מהי מהירות זרימת הזמן?” התשובה הטיפוסית, “שנייה אחת לשנייה”, היא, כמובן, טאוטולוגיה. [4] רוב הניסיונות לענות על השאלה כוללים חשיבה מעגלית.

הזמן המוחלט של ניוטון והזמן היחסי של איינשטיין בעלי תכונות מטריות בלבד וחסרי “זרימה”; לכן לאף אחד מהם אין חץ הזמן (כלומר, הכיוון הא־סימטרי של זרימת הזמן מהעתיד לעבר), ולא ההבחנה בין עבר, הווה ועתיד. ובכל זאת, גם המכניקה הקלאסית הניוטונית, כמו גם המכניקה היחסותית של איינשטיין, מתארות בהצלחה את המציאות הפיזיקלית בתחומיהן המתאימים מבלי לפנות למושג זרימת הזמן. פיזיקאים עכשוויים רבים מסיקים מעובדה זו ששטף הזמן אינו אמיתי אלא פרי דמיוננו. אחרים חולקים. כפי שניסח זאת ג’. ג’. ויטרו, “ההיסטוריה של הפילוסופיה הטבעית מאופיינת במשחק הגומלין של שתי פילוסופיות יריבות של הזמן—האחת שואפת ל’ביטולו’ והאחרת מבוססת על האמונה שהוא יסודי ובלתי ניתן לצמצום.”

למרות התפיסה השגויה הרווחת, החוק השני של ניוטון הוא משוואה מתמטית המתארת פונקציה סטטית.[10] הוא אומר בעצם שאם אנו יודעים את המיקום ואת המהירות של חלקיק ברגע t (שהוא נקודה על ציר זמן T), אנו יכולים לחשב את מיקומו ומהירותו בכל נקודה אחרת t’ על ציר הזמן T. החוק השני אינו אומר דבר על זרימת הזמן, ואינו חוזה שהרגע בנקודה t’ על ציר הזמן “יבוא לידי מימוש”. כל הנקודות על ציר הזמן T קיימות “בו־זמנית”, כביכול, לפחות מבחינת המתמטיקה של הדבר. (ייתכן שניוטון הבין זאת, ולכן נאלץ להוסיף, כאקסיומה נפרדת, את ההצהרה ש”הזמן המוחלט, האמיתי והמתמטי, מעצמו ומטבעו זורם באופן שווה ללא התחשבות בכל דבר חיצוני.” [‎10, Scholium I]) אבוי, האקסיומה על זרימת הזמן שהוסיף ניוטון אינה מועילה במיוחד מכיוון שהיא בעצם מעגלית, שכן היא מעוררת את השאלה, “מהי ‘זרימה’?” שמחזירה אותנו למקום שבו התחלנו. אקסיומה זו, למרבה הצער, אינה מספקת מודל מתמטי לזרימת הזמן.

רבים ניסו להסביר את הזמן כתופעה מתהווה[4], אך ניסיונות אלה עדיין לא נשאו פרי.

הבעיה הולכת עמוק יותר: הפיזיקה התיאורטית משתמשת בשפה ובכלים של המתמטיקה. המתמטיקה, עם זאת, אינה יכולה לתאר זמן, מכיוון שהמתמטיקה היא בעצם סטטית. טענה זו עשויה להיות, בהתחלה, נוגדת אינטואיציה. איש לא יטען שכל האקסיומות “קיימות בו־זמנית”, או שכל האובייקטים המתמטיים, נניח, נקודות על קו, “קיימות בו־זמנית”. שאלה זו אפילו לא רלוונטית, שכן הזמן אינו נכנס למתמטיקה. נראה שהקושי בתיאור “זרימת” הזמן נובע ביסודו מחוסר יכולתנו להגדיר מתמטית את עצם המושג של שינוי. עם זאת, אנו משתמשים במתמטיקה בצורה יעילה מאוד לתיאור שינוי. אנו משתמשים בפונקציות ובמשוואות דיפרנציאליות לחישוב שינוי. אנו משתמשים בגרפים כדי לשרטט את השינוי של משתנה אחד בקשר לשינוי במשתנה אחר, נניח לשרטט מרחק ביחס לזמן…

אבל האם אנחנו באמת? בואו נסתכל על הגרף הפשוט ביותר:

כל הנקודות על צירי ה-X וה-Y קיימות בו-זמנית. השינוי הוא תוצר של התודעה שלנו כאשר אנו ‘נעים’ מנטלית מנקודה לנקודה על קו, תוך התבוננות בנקודה אחת בכל פעם.

הצורה היחידה של מתמטיקה המשתמשת בזמן היא מתמטיקה אלגוריתמית, שבה מבוצעים צעדים אחד אחרי השני, או מנטלית או על ידי מחשב. פרקטלים הם רק דוגמה אחת לאובייקטים מתמטיים הנבנים באופן אלגוריתמי. [11] באופן כללי, הפונקציה הרקורסיבית y=f(x), שבה הערך הבא של הארגומנט x הוא ערך הפונקציה y שחושב באיטרציה קודמת, דורשת זמן, כיוון שכל צעד מבוצע בנפרד. הזמן, למרות שהוא הכרחי, הוא חיצוני למתמטיקה אלגוריתמית והאחרונה אינה מסבירה או מתארת את הראשון. כל ניסיון לתאר זמן באופן מתמטי מוכיח את עצמו כמעגלי.

בפיזיקה, לעומת זאת, הזמן משחק תפקיד מרכזי. ניתן לומר שהזמן הוא זה שהופך מתמטיקה לפיזיקה.

אכן, כל התהליכים בטבע כרוכים בזמן. אין אובייקט פיזי או תופעה פיזית שקיימים מחוץ לזמן. לכל חלקיק אנרגיה יש שעון פנימי משלו, בזכות תדירות דה ברולי המשויכת אליו: E = hν. (כאשר E היא אנרגיה, ν היא תדירות ו-h הוא קבוע פלאנק) לכל חלקיק יסודי יש אנרגיה ולכן יש לו את תדירות דה ברולי שלו, המהווה את השעון הפרטי שלו [4]. פיזיקה ללא זמן היא בלתי נתפסת.

ועדיין, מכיוון שהפיזיקה משתמשת בשפת המתמטיקה, שאינה מסוגלת לתאר זמן, גם הפיזיקה מוגבלת מאוד ביכולתה לתפוס את מהות הזמן.

זה נעשה בולט במיוחד לאור תורת היחסות הפרטית. אם מנסים לתאר קו-עולם של חלקיק במרחב מינקובסקי, תרשים הזמן נראה כך:

כל נקודה על קו-העולם מייצגת אירוע. כל האירועים בעבר, בהווה ובעתיד מתוארים בו-זמנית על תרשים זמן זה. לואי דה ברולי כתב בנוגע לכך:

“במרחב-זמן, כל מה שעבור כל אחד מאיתנו מהווה את העבר, ההווה והעתיד ניתן בבלוק [בלוק ארבע-ממדי של מציאות], והאוסף השלם של אירועים, עוקבים עבורנו, המרכיבים את קיומו של חלקיק חומרי מיוצג על ידי קו, קו-העולם של החלקיק. כל צופה, ככל שזמנו חולף, מגלה, כביכול, פרוסות חדשות של מרחב-זמן הנראות לו כהיבטים עוקבים של העולם החומרי, אף שבמציאות מכלול האירועים המרכיבים את המרחב-זמן קיים עוד לפני ידיעתו אותם.”[לואי דה ברולי, 1949, 114-115]

הרמן וייל, אחד המתמטיקאים הבולטים של המאה ה-20, כתב [13, עמ’ 116],

“העולם האובייקטיבי פשוט קיים, הוא אינו מתרחש: רק למבט התודעה שלי, הזוחל כלפי מעלה לאורך קו החיים של גופי, מתעורר לחיים חלק מעולם זה.”

דייוויד פארק כתב באופן דומה, “התודעה שלנו זוחלת לאורך קו-העולם שלנו כמו ניצוץ הבוער לאורך פתיל.” (12, עמ’ 113).

יתרה מזאת, תורת היחסות הפרטית ביטלה את המושגים המוחלטים של עבר, הווה ועתיד, שכן כל אחד ממושגים אלה שונה מצופה אחד למשנהו. כפי שאיינשטיין כתב לאלמנתו של חברו בסו, “עבורנו הפיזיקאים המאמינים, ההבחנה בין עבר, הווה ועתיד היא רק אשליה, גם אם עקשנית.”

עם חוסר היכולת הבסיסי שלנו לתאר מתמטית – לא כל שכן להסביר – את מושג הזמן, אנו מוצאים את עצמנו במבוי סתום. כפי שציינו פילוסופים רבים, זרימת הזמן קיימת רק בתודעה שלנו.

מבנים עצמיים-התייחסותיים

פתרון אפשרי לחידת הזמן עשוי לבוא באופן בלתי צפוי מהלוגיקה. שקלו את שלושת ההיבטים הבאים של הזמן:

1. זרימת הזמן דורשת שינוי. כפי שאריסטו ציין, “הזמן הוא מידה של שינוי.” [16, IV:11] יתרה מזאת, “אם הזמן הוא מידה של שינוי ביחס ל’לפני’ ו’אחרי’, אז תנאי הכרחי לקיומו של זמן בכלל הוא קיומו של שינוי.”[17, עמ’ 215] למרבה הצער, כל ניסיון לתאר שינוי מביא באופן מובלע את הזמן לתמונה.
2. כדי שיתרחש שינוי, מערכת חייבת להיות בעלת לפחות שני מצבים שהיא יכולה לקבל, כשם שמשתנה חייב להיות בעל לפחות שני ערכים שביניהם הוא יכול להשתנות.
3. בצורתו הבסיסית ביותר, הזמן קשור לסיבתיות. הרומאים העתיקים חשבו ש”post hoc, proctor hoc” (אחרי משמעו בגלל). אנו יודעים שזהו כשל לוגי שאינו תמיד נכון, אך שההיפך תמיד נכון: עובדה חייבת תמיד לבוא אחרי הסיבה שלה. זה היה עיקרה של תיאוריית הזמן הסיבתית שפיתח האנס רייכנבך ב-1929 [18]. זה הכרחי כי, כדי שמערכת תשתנה ממצב A למצב B, מצב A חייב היה לגרום למצב B.

הבה נתבונן כעת בפרדוקס השקרן. אפימנידס, תושב כרתים, אמר אמירה אלמותית: “כל הכרתים הם שקרנים”. אמירה זו היא שקרית אם היא אמיתית, ואמיתית אם היא שקרית. דוגמה נוספת תהיה הבאה: שקלו כרטיס שעליו כתוב בצד אחד, “ההצהרה בצד השני של הכרטיס היא אמיתית.” בצד השני, לעומת זאת, כתוב, “ההצהרה בצד השני היא שקרית.” כל הפרדוקסים הללו יכולים למעשה להיות בצורה, “הצהרה זו היא שקרית.”

המאפיין המהותי של הצהרה כזו הוא שהיא מתייחסת לעצמה. כאשר אנו מנסים לתת משמעות להצהרה זו, היא מפעילה זרימה דינמית אינסופית: אמת→שקר→אמת→שקר, וכו’…

במסורת היהודית, יש לנו מספר דוגמאות דומות. אולי הפרדוקס העצמי-התייחסותי המוכר ביותר הנדון בהרחבה בספרות היהודית הוא האם הקדוש ברוך הוא יכול ליצור אבן שהוא אינו יכול להרים. זה לא המקום לדון בגישות השונות לפרדוקס זה בקרב חכמי ישראל. די לומר שזהו מבנה עצמי-התייחסותי טיפוסי הדומה מאוד לפרדוקס השקרן של העת העתיקה.

אנו מוצאים דוגמה למבנה עצמי-התייחסותי בגמרא נדרים [19, 69א]:

רבה שאל: [אם בשמעו על נדר, אמר אב או בעל,] ‘מקוים לך ומופר לך, והקיום לא יחול אלא אם כן תחול ההפרה?’

אנו עוסקים כאן במצב שבו אב או בעל שומע אישה נודרת נדר ורוצה לבטל נדר זה בצורה מותנית שנבנתה על ידי רבה. על פי דין תורה, אב (או בעל) יכול להפר את נדר בתו (אשתו) בשומעו אותו. אולם, ברגע שהאב (הבעל) מקיים את נדר בתו (אשתו), לא ניתן יותר להפר אותו. כאן, לעומת זאת, הקיום עצמו מותנה בהפרה. כתוצאה ממבנה עצמי-התייחסותי זה, הנדר מקוים אם הוא מופר, ומופר אם הוא מקוים.

חשוב על ההצהרה, “אני רשע“. בהצהרה זו, אדם מעיד נגד עצמו על ביצוע חטא חמור המגדיר אותו כ”רשע” (למשל, הוא מודה שרצח מישהו). אם זה נכון, הוא אכן רשע. אולם, אם הוא רשע, הוא פסול, על פי ההלכה התלמודית, מלהיות עד; לכן, איננו מאמינים לו [20, 9ב]. זה מבטל את הודאתו בחטא ומסיר את פסילתו כעד, מה שמחזיר אותנו במעגל חזרה למעשה החטא שלו, וכך הלאה, עד אין סוף. אולי מעגל קסמים זה הוא הסיבה הבלתי מוצהרת לכך שבהלכה התלמודית, אדם אינו יכול להעיד נגד עצמו מלכתחילה.

דוגמה מעניינת נדונה בגמרא סנהדרין [20, 10א]:

רב יוסף אמר: [אם אדם אומר ש]אדם מסוים בא עליו שלא ברצונו (שהוא פשע שדינו מוות), הוא ועד נוסף מצטרפים להעיד נגד המבצע כדי להוציאו להורג [על פשעו]. [אולם, אם אדם אומר שבא עליו] ברצונו – [מכיוון שעל פי עדותו שלו] הוא חוטא, [הוא פסול מלהעיד נגד המבצע,] שכן התורה אמרה: אל תשת רשע עד. רבא אמר: אדם קרוב אצל עצמו, ו[לכן] אינו יכול [לפסול את עצמו על ידי] קביעת עצמו כרשע.

מה שיש לנו בחלק הראשון של גמרא זו הוא מבנה המתייחס לעצמו, שבו אדם מציע עדות מפלילה עצמית נגד אדם אחר, כך שעדותו הופכת אותו לחוטא ופוסלת אותו כעד. רבא פותר את הפרדוקס באופן מכריע על ידי איסור עדות מפלילה עצמית (כלומר, המתייחסת לעצמה).

ניתן ליצור דוגמאות רבות כאלה, שהחוט המקשר ביניהן יהיה שעדותו של אדם על מעורבותו בפעילות חוטאת פוסלת אותו מלהיות עד כשר. התלמוד פותר דילמה זו על ידי שימוש בשיטת פלגינן דיבורא, כלומר, “פיצול הדיבור”, שבה אנו מקבלים את החלק בעדות העד המתייחס לאדם אחר, אך לא מקבלים את החלק בעדותו ביחס לעצמו שהיה פוסל אותו כעד לחלוטין. במילים אחרות, התלמוד אוסר אמירות המתייחסות לעצמן הגורמות להיגיון מעגלי.

עיקרון זה לא תמיד עוזר. דוגמה מעניינת תוארה במנחת חינוך [21]. שני עדים באים לבית דין להעיד שראו את הירח החדש. הבית דין מכריז על ראש חודש על סמך עדותם. נניח שנער שיום הולדתו השלושה עשר חל בראש חודש זה שהוכרז בא לבית הדין ופוסל את שני העדים כ”עדים זוממים“, באומרו שהם היו איתו באותו זמן במקום אחר ולא יכלו לראות את הירח החדש. מכיוון שכדי שעד יהיה אמין בבית דין עליו להיות בן שלוש עשרה לפחות, עדותו מתחילה מעגל קסמים: אם נקבל את עדות הנער כאמת, ובכך נפסול את העדים המקוריים, מה שגורם ליום לא להיות ראש חודש, ובמקרה כזה הנער עדיין לא בר מצווה, ולא הגיע לגיל בגרות חוקי כדי להתקבל כעד בבית המשפט. אז עלינו לדחות את עדותו, מה שמכשיר את העדים המקוריים ומחזיר את ראש החודש, ובכך הופך את הנער לבר מצווה, ובמקרה כזה עלינו לקבל את עדותו, וכן הלאה עד אין סוף. זוהי הגרסה היהודית לפרדוקס השקרן הקלאסי. כתמיד, הוא כולל מבנה לוגי המתייחס לעצמו.

דוגמה מאוחרת יותר הקשורה לתורת הקבוצות תוארה על ידי ברטרנד ראסל. היא ידועה כפרדוקס ראסל, או אנטינומיית ראסל:

ניתן להניח שעבור כל קריטריון נתון, קיימת קבוצה שחבריה הם אותם אובייקטים (ורק אותם אובייקטים) המקיימים את הקריטריון. הנחה זו מופרכת, עם זאת, על ידי קבוצה המכילה בדיוק את הקבוצות שאינן חברות בעצמן. אם קבוצה כזו נחשבת כחברה בעצמה, היא תסתור את ההגדרה שלה עצמה כקבוצה המכילה קבוצות שאינן חברות בעצמן. מצד שני, אם קבוצה כזו אינה חברה בעצמה, היא תהיה זכאית להיות חברה בעצמה לפי אותה הגדרה. יש לנו פרדוקס.

כדי להמחיש, נקרא לקבוצה “חריגה” אם היא חברה בעצמה, ו”רגילה” אם לא. נתבונן, לדוגמה, בקבוצת כל המשולשים. קבוצה זו אינה משולש בעצמה ולכן אינה חברה בקבוצת כל המשולשים. כתוצאה מכך, היא קבוצה “רגילה”. אם ניקח, לעומת זאת, את הקבוצה המשלימה המכילה את כל הלא-משולשים, קבוצה זו עצמה אינה משולש ולכן צריכה להיות אחת מחבריה. קבוצה כזו היא “חריגה”.

הבה נתבונן כעת בקבוצת כל הקבוצות הרגילות, N. הניסיון לקבוע האם N היא רגילה או חריגה מוביל לסתירה: אם N היא קבוצה רגילה, היא מוכלת בקבוצת הקבוצות הרגילות (עצמה), ולכן היא חריגה. אם, מאידך, היא חריגה, היא אינה מוכלת בקבוצת הקבוצות הרגילות (עצמה), ולכן היא רגילה. זה מוביל למסקנה פרדוקסלית ש-N היא גם רגילה וגם חריגה.

בדוגמה פופולרית של האנטינומיה של ראסל, הידועה כפרדוקס הספר, הבה נתבונן בספר המגלח גברים אם ורק אם הם אינם מגלחים את עצמם. כאשר אנו מהרהרים בשאלה האם על הספר לגלח את עצמו או לא, אנו נכנסים למעגל אינסופי של סתירות.

אנו מציינים שבאנטינומיה של ראסל, כמו בפרדוקס השקרן, יש לנו מבנה המתייחס לעצמו. ישנן שלוש פרשנויות אפשריות למבנים כאלה המתייחסים לעצמם:

(1) הם סותרים את עצמם ואין לקבלם או להתירם בשום תיאוריה מתמטית השואפת להיות עקבית;

(2) בכל תיאוריה מתמטית ישנן טענות שלא ניתן להוכיח את אמיתותן או שקריותן באמצעות התיאוריה עצמה (במהותו, משפט גדל [24]);

(3) הפרדוקס נפתר על ידי הכנסת הזמן או, לחלופין, הרצף הלוגי הוא שמניע את זרימת הזמן.

אכן, אנו מוצאים בפיזיקה שמערכות כאלה המתייחסות לעצמן עובדות היטב. הדוגמה הפשוטה ביותר תהיה פעמון חשמלי מוכר. המעגל החשמלי מסודר כך שברגע שהמעגל פעיל, הוא נכבה, וברגע שהוא נכבה, הוא נדלק, וכן הלאה. תנודה זו מפעילה את רטט הפטיש המחובר לאלקטרומגנט, ויוצרת צלצול. [25]

ניתן לפרש זאת כמשמעות שהזמן הכרחי כדי לשבור את הסתירה במערכת המתייחסת לעצמה, כאשר כל ערך לוגי מתקיים ברגע שונה בזמן. זה מזכיר את האמרה שהזמן הוא הדרך של הקב”ה למנוע מהכל לקרות בבת אחת.[16] או, לחלופין, זרימת הזמן עצמה נובעת מהניסיון להבין את המשמעות של מבנה המתייחס לעצמו, כמו מודעות עצמית.

רעיון זה נרמז על ידי אחרים לפניי. התבוננו בציטוט זה מפול דייוויס:

“הופשטטר כתב על ‘המערבולת המסתחררת של התייחסות עצמית’ שיוצרת את מה שאנו מכנים תודעה ומודעות עצמית, ואני מאמין בחוזקה שזוהי אותה מערבולת שמניעה את זרימת הזמן הפסיכולוגית. מסיבה זו אני טוען שסוד התודעה ייפתר רק כאשר נבין את סוד הזמן.” [4, עמ’ 127; 20 עמ’ 714]

קל לראות זאת אם נכניס מינוח חדש: א → ב משמעו ש-א קודם ל-ב, וש-ב בא אחרי א. הרצף: אמת, שקר, אמת, שקר ניתן לכתיבה מחדש כ-1 → 0 → 1 → 0, וכו’. המחזור היסודי של תנודה זו הוא זוג (1, 0) המייצג אמת/שקר (א, ש). זוג כזה מייצג ביט של מידע. כתוצאה מכך, תנודה זו של ערכים לוגיים (א, ש) יוצרת מספר מצטבר והולך של ביטים של מידע, מה שעשוי להסביר את חץ הזמן.

בדרך כלל פיזיקאים בודקים את התיאוריות שלהם בניסויים, אך רעיון זה גובל במטאפיזיקה, ולכן לא יכול למצוא תמיכה ניסויית. לכן, בדיקת המציאות שלי היא לראות אם מחשבות אלו יכולות למצוא תמיכה בחז”ל.

הבה נסקור את הטיעון: ראשית, זמן הוא שינוי. כפי שהזכרנו קודם, ספר יצירה מתאר את העולם כקיים בשלושה ממדים של שנה, מקום ונפש—שנה (זמן), מקום (מרחב) ונפש (ממד רוחני). המילה “שנה” קשורה אטימולוגית למילה “שינוי“. מכאן, אנו רואים שהרעיון של זמן כמקביל לשינוי מושרש בלשון העברית של התורה.

שנית, שינוי דורש שתי אפשרויות. גם זה נמצא בדקדוק העברי כאשר המילה שינוי – שינוי – מכילה את אותן אותיות כמו המילה שני – שתיים, המשקפת את הרעיון שכל שינוי מרמז על מעבר ממצב אחד לאחר, שעבורו שני מצבים אלה או שתי אפשרויות חייבים להתקיים מראש.

שלישית, זמן דורש סיבתיות. כך אומר, למשל, הרבי הרש”ב[17] בהמשך תרס”ו [19], כפי שהרבי מליובאוויטש, רבי מנחם מנדל שניאורסון, מסביר במכתב המפרט את המחלוקת בין אדמו”ר הזקן והרבי מזידיצ’וב על טבע הזמן. [19]

עד כה, אנחנו על קרקע מוצקה. הרעיון הנועז ביותר, עם זאת, הוא הקשר בין הזמן לזרימה האינסופית של ערכים לוגיים – אמת, שקר – בהיגד המתייחס לעצמו. בהמשך תרס”ו, ויכולו [19], הרבי הרש”ב מקשר את הזמן למושגים הקבליים של רצוא ושוב (כלומר, ריצה וחזרה, או הלוך וחזור), התפשטות והסתלקות (התפשטות וחזרה), ומטי ולא מטי (נוכח ולא נוכח). מטי ולא מטי הוא א ולא א, מה שמביא אותנו לרצף האינסופי שלנו של אמת→שקר, וכו’. כך הרעיון שלנו על מקור זרימת הזמן מוצא תמיכה בחסידות, בהסברה על מטי ולא מטי ורצוא ושוב כמקור הרוחני של הזמן. (ראה [23].)

מודל זה של זמן מאפשר לנו להתבונן באור חדש על גיל היקום. אנו יכולים כעת להפריד את הזמן לשני סוגים אפשריים: זמן “סטטי”, שיש לו תכונות מטריות אך ללא זרימה, וזמן “דינמי”, שיש לו גם תכונות מטריות וגם זרימה. בשימוש באנלוגיית הנהר העתיקה, זמן “סטטי” ניתן לדמיין כנהר קפוא. ניתן למדוד את המרחק בין דגים קפואים בקרח כמטאפורה למדידת משך בין אירועים, כיוון שזמן “סטטי” שומר על תכונותיו המטריות. לכל מולקולת מים בנהר קפוא יש את הקואורדינטות שלה ושומרת על המרחק היחסי שלה, כך גם בזמן קפוא, לכל רגע יש את מקומו בציר הזמן, אך הזרימה חסרה. כאשר הקרח נמס והנהר מתחיל לזרום (תוך שמירה על כל המרחקים היחסיים בין מולקולותיו), זוהי מטאפורה לזמן ה”דינמי”.

פילוסופים יהודיים הכירו בשני סוגי זמן: זמן מדוד וזמן מהותי, הנקרא במורה נבוכים שיעור זמן או דמות זמן [23, חלק 2, פרק י”ג; ראה גם 24, עמ’ 44], או בספר העיקרים הוא נקרא זמן בלתי משוער, כלומר, הזמן הבלתי מדיד [25, פרק 2:18].

הרעיון שלנו על שני היבטי הזמן מתאים היטב לשני סוגי הזמן שנדונו על ידי פילוסופים יהודיים: הזמן המטרי מקביל לזמן הבלתי ניתן למדידה או המהותי (שיעור זמן) והזמן הדינמי מקביל לזמן המדוד (זמן). במבט ראשון, זה עשוי להיראות לא אינטואיטיבי. לזמן המטרי יש מטריקה, dt,[18] המאפשרת לנו למדוד מרחק (משך) בין כל שתי נקודות על ציר הזמן כאינטגרל ∫dt. כיצד זה יכול להתאים לזמן ה”בלתי ניתן למדידה”? כדי לענות על כך, עלינו להיזכר שפילוסופים יהודיים מימי הביניים היו בעיקרם ניאו-אריסטוטליים אשר, בעקבות אריסטו,[19] ראו בזמן מקרה של תנועה. ככזה, הזמן חייב להימדד על ידי תנועה (כגון תנועת כוכבי לכת, או שעונים). כתוצאה מכך, כאשר אין תנועה, לא ניתן למדוד את הזמן – ולכן הוא נקרא זמן בלתי ניתן למדידה. הזמן המטרי הוא גם בלתי ניתן למדידה במובן זה (על ידי תנועה) מכיוון שבזמן מטרי, שאינו “זורם”, אין תנועה. המטריקה היא מבנה מתמטי טהור המטיל טופולוגיה על קבוצת האירועים שאנו מכנים ציר זמן. רק זמן דינמי, המאפשר תנועה, ניתן למדידה על ידי גופים נעים. לכן, אין סתירה בקישור הזמן המטרי שלנו עם הזמן הבלתי ניתן למדידה (זמן בלתי משוער) של ספר העיקרים או הזמן המהותי (שיעור זמן או דמות זמן) של מורה נבוכים.

ישנו מושג מורכב ונסתר נוסף של זמן ביהדות המכונה סדר הזמנים. מדרש רבה מתעד את הדיאלוג הבא: “רבי יהודה בן שמעון אמר, ‘לא כתוב, “יהי ערב” אלא “ויהי ערב”. זה מלמד אותנו שסדר הזמנים (סדר זמנים) היה קיים קודם לכן.'” [‎20, פרק 3] מושג זה של סדר זמנים מפותח עוד יותר בקבלה [‎21] ובפילוסופיה החסידית [‎24]. סדר זמנים הוא צורה קדומה של זמן שבה יש סדר של אירועים (מוקדם, מאוחר) אך עדיין אין זרימת זמן. סדר זמנים נחשב למקור הרוחני של זמן – הזמן כפי שהוא רוכש את תכונת זרימת הזמן המוכרת בעולם הזה. זה דומה במקצת למושג הזמן המטרי שלנו במידה שאין לו את זרימת הזמן. עם זאת, לא ברור אם ל”סדר הזמנים” יש את הטופולוגיה המטרית המאפשרת מדידת מרחק בין אירועים על ציר הזמן. נראה סביר לחלוטין שה”התפתחות”[20] של הזמן התקדמה באופן הבא:

בשלב הראשון, המושג הקדום של זמן בצורתו המופשטת ביותר היה קבוצה מסודרת של אירועים שבה עבור כל שני אירועים, ניתן לומר שאירוע אחד קדם לאירוע השני על ציר הזמן, כלומר, האירוע הראשון היה “מוקדם יותר” מהאירוע השני. בשלב השני של ההתפתחות, ציר הזמן רוכש גיאומטריה מטרית, המאפשרת למדוד את המרחק בין שני אירועים. בשלב זה אנחנו לא רק יכולים לומר שאירוע א’ קדם לאירוע ב’ אלא גם בכמה זמן הוא קדם לו. לבסוף, בשלב האחרון של ההתפתחות, הזמן רוכש את תכונת הזרימה, זרימת הזמן, שבשלב זה אנו מכנים אותו זמן דינמי.

התפיסה שלנו של שני זמנים מתאימה גם לרעיון הקבלי של זמן “תחתון” וזמן “עליון”, כאשר הזמן התחתון (המקביל לזמן הדינמי) מקורו במידות,[21] ומתקשר לזרימת הזמן, ואילו הזמן העליון (המקביל לזמן המטרי) מקורו בספירות ספירות החב”ד (חכמה, בינה, דעת), שיש לו תכונות מטריות, אך חסר זרימה.

גיל היקום

המודל שלנו מניב שני צירי זמן נפרדים. הזמן שלפני אדם וחוה ניתן לסווג כזמן מטרי או “סטטי”. אדם וחוה, כיצורים המודעים הראשונים, הפעילו את זרימת הזמן כאשר ניסו לראשונה לצפות ולהבין את היקום, ובכך התחילו ציר זמן דינמי חדש.

ניתן לשאול: אדם לא היה מהאי כרתים, אז מדוע שיהיה עסוק בפרדוקס השקרן? ג’ון ארצ’יבלד וילר ענה על כך: “היקום דרך עיניו של צופה מודע מביט חזרה על עצמו, מה שמביא אותו לקיום מוחשי.” [‎21, עמ’ 564-565].

היקום, במילותיו של פרופ’ וילר המנוח, הוא ההצהרה העצמית האולטימטיבית. לפי פון נוימן ויוג’ין ויגנר, רק צופה מודע יכול לקרוס את פונקציית הגל (ראה דיון מפורט על כך ב-[‎1]). לכן, נדרש יצור מודע כדי לקרוס את פונקציית הגל האוניברסלית. כך, היקום חייב תחילה ליצור מודעות, המאפשרת לצופה מודע להביט חזרה על היקום ולקרוס את פונקציית הגל שלו; ובכך, להביא אותו מקיום פרוטו-פיזי אמורפי כהתפלגות הסתברות מופשטת לקיום פיזי מוחשי.

במודל שלנו, היקום גם דורש יצור מודע שמנסה לתת משמעות למבנה עצמי-התייחסותי זה – היקום מנסה לקרוס את פונקציית הגל של עצמו או פשוט להבין את עצמו – ובכך מפעיל את זרימת הזמן.

כך, אנו שוב מגיעים לשני צירי זמן: ציר זמן קוסמולוגי ארוך אחד (הנמדד כיום כ-13.75 ±0.17 מיליארד שנים [‎26]) וזמן קצר בהרבה שמתחיל עם בני האדם הראשונים, אדם וחוה, ואשר מאמינים, על פי המסורת היהודית, שהוא 5770 שנים נכון לזמן כתיבת שורות אלה.

זה מספק גישה נוספת ליישוב הסתירה בין הגיל הקוסמולוגי לגיל היקום המסורתי היהודי, בדומה לאופן שבו הסברתי זאת על בסיס מודל מכניקת הקוונטים (ראה [‎1] ו-[‎2]). במודל הראשון [‎1], המבוסס על מכניקת הקוונטים בפרשנות קופנהגן המסורתית שלה, העולם לפני אדם וחוה התקיים כהתפלגות הסתברות מופשטת המתוארת על ידי פונקציית גל. היו אלה אדם וחוה אשר, בהביטם חזרה על היקום, קרסו את פונקציית הגל ובכך הביאו את העולם לקיומו המוחשי. אך פונקציית הגל מגיעה עם כל ההיסטוריה העברית שלה. לכן, כאשר אנו מודדים היום את הגיל הקוסמולוגי של היקום, אנו מוצאים שהוא בן כ-13.7 מיליארד שנים.

במודל השני, אותן תוצאות הושגו תוך שימוש בפרשנות העולמות המרובים העכשווית של מכניקת הקוונטים וכן על בסיס הפרשנות החדשנית שלי הכוללת סנכרון שעונים שהוצעה ב-[‎2].

המסורת היהודית, מצד שני, מדברת על הזמן מהרגע שבו העולם הזה בא לקיום פיזי ממשי, מה שקרה כאשר אדם וחוה קרסו את פונקציית הגל (או בחרו אחד מהיקומים המקבילים במודל העולמות המרובים) לפני כ-5770 שנים.

באופן דומה, בגישה הנוכחית שלנו, העולם התקיים בצורתו ה”קפואה” במשך כ-13.7 מיליארד שנים לפני שבני האדם הראשונים הגיעו ו”הפשירו” אותו, מפעילים את זרימת נהר הזמן. שוב, ציר הזמן החדש הזה מגיע עם כל ההיסטוריה שהתקיימה לפני שהזמן החל לזרום, כך שכאשר אנו מודדים את הזמן הקוסמולוגי היום, אנו מודדים את גיל היקום מזמן המפץ הגדול, ולא מהרגע שבו הזמן החל לזרום, הודות לאדם וחוה.

מסקנה

האם זה מקרי ששלוש הגישות השונות שתוארו בשני המאמרים הקודמים שלי וכאן מגיעות לאותה תוצאה בעיקרון? אני לא חושב כך! כמובן, אין זה פלא ששתי הגישות הראשונות הניבו את אותה תוצאה מכיוון ששתיהן התבססו על אותה מכניקת קוונטים, אם כי בפרשנויות שונות שלה. מדוע, עם זאת, הגענו לאותה תוצאה על ידי ניתוח טבע הזמן עצמו? נראה לי שיש קשר עמוק ויסודי בין מכניקת הקוונטים, טבע הזמן והמודעות שלנו. כפי שהוזכר לעיל, סמכויות בלתי מעורערות במכניקת הקוונטים כמו פון נוימן וויגנר האמינו שזו המודעות האנושית שקורסת את פונקציית הגל. באופן דומה, אנו מאמינים שזו המודעות שמפעילה את זרימת הזמן על ידי ניסיון לפרש את המשמעות של מבנה עצמי-התייחסותי, שהמודעות המנסה להבין את עצמה היא דוגמה מובהקת לכך. רגשות דומים הובעו בעבר על ידי הוגים כמו פול דייוויס [‎4] ודאגלס הופשטטר [‎20]. מכניקת הקוונטים, הזמן והמודעות כולם מסתובבים סביב המושג היסודי של התייחסות עצמית, כאשר מאחורי כל זה נמצא הבורא האינסופי, היחיד והכל-יודע, אשר לפי הרמב”ם [‎27], יודע הכל על ידי ידיעת עצמו – המבנה העצמי-התייחסותי האולטימטיבי.

ביבליוגרפיה:

1. אלכסנדר פולטורק, “על גיל היקום,” באור התורה (2002) כרך 13, עמ’ 19-37
2. אלכסנדר פולטורק, “גיל היקום: שימוש בפרשנות העולמות המרובים של מכניקת הקוונטים,” באור התורה (2008) כרך 18, עמ’ 149-168.
3. אוגוסטינוס מהיפו, וידויים ספר יא, פרק יד, סעיף 17 (בערך 400 לספירה).
4. פול דייוויס, אלוהים והפיזיקה החדשה. (סיימון ושוסטר, ניו יורק. 1984)
5. רב סעדיה גאון
6. אריה קפלן, ספר יצירה (סמואל וייזר, 1990)
7. אריה קפלן, החלל הפנימי: מבוא לקבלה, מדיטציה ונבואה (מוזנאים, 1990)
8. ו. גרסון רבינוביץ’ וו. י. מטסון, הרקליטוס כקוסמולוג (החברה לחינוך פילוסופי, 1956)
9. מרקוס אורליוס, הגיגים (167 לספירה)
10. אייזק ניוטון, עקרונות המתמטיקה.
11. בנואה מנדלברוט, הגיאומטריה הפרקטלית של הטבע (ו. ה. פרימן, 1983)
12. לואי דה ברולי,
13. רובין פרבר והרמן ברנובר. באור התורה
14. ה. וייל, פילוסופיה של מתמטיקה ומדע הטבע (אוניברסיטת פרינסטון, פרינסטון, ניו ג’רזי, 1949).
15. ג’.ט. פרייזר ואחרים, עורכים, חקר הזמן
16. אריסטו, פיזיקה
17. כריסטופר ג’ון שילדס, אריסטו (רוטלדג’, ניו יורק, ניו יורק 2007)
18. הנס רייכנבך, הפילוסופיה של החלל והזמן (דובר פבליקיישנס, ניו יורק, ניו יורק 1958)
19. תלמוד בבלי, מסכת נדרים סדרת ארטסקרול (הוצאת מסורה, ברוקלין, ניו יורק 2000)
20. תלמוד בבלי, מסכת סנהדרין סדרת ארטסקרול (הוצאת מסורה, ברוקלין, ניו יורק 2000)
21. יוסף באב”ד, מנחת חינוך
22. בראשית רבה
23. רבי משה קורדובירו (הרמ”ק), פרדס רימונים
24. דאגלס ר. הופשטטר, גדל, אשר, באך: צמה זהובה נצחית (בייסיק בוקס, 1979)
25. דיוויד מ. האריסון, משפט בל (http://www.upscale.utoronto.ca/PVB/Harrison/BellsTheorem/BellsTheorem.html)
26. הרבי הרש”ב, המשך תרס”ו (קה”ת, ניו יורק)
27. משה בן מימון, מורה נבוכים.
28. צבי פרימן, האם הזמן מתחיל?, באור התורה כרך 15, עמ’ 43
29. יוסף אלבו, ספר העיקרים
30. אליעזר צייגר, זמן, באור התורה
31. ג’.א. וילר בתוך ישאם ואחרים, עורכים, כבידה קוונטית (קלרנדון, אוקספורד, 1975)
32. ס. ה. סויו, פ. ג’. מרשל, מ. וו. אוגר, ס. הילברט, ר. ד. בלנדפורד, ל. ו. א. קופמנס, ק. ד. פסנכט וט. טרו. ניתוח העדשה הכבידתית B1608+656. II. מדידות מדויקות של קבוע האבל, העקמומיות המרחבית, ומשוואת המצב של האנרגיה האפלה. כתב העת האסטרופיזיקלי, (2010); 711 (1)