Зрелище Вселенной становится тем грандиознее, тем прекраснее, тем достойнее своего Автора, когда знаешь, что небольшого числа законов, мудро установленных, достаточно для всех движений.
Пьер Луи Мопертюи (1744)
Среди более или менее общих законов, открытие которых характеризует развитие физической науки в течение последнего столетия, принцип наименьшего действия в настоящее время, безусловно, является одним из тех, которые по своей форме и всеохватности, можно сказать, наиболее близко подошли к идеальной цели теоретического исследования. Его значение, при правильном понимании, распространяется не только на механические процессы, но и на тепловые и электродинамические задачи. Во всех отраслях науки, к которым он применяется, он дает не только объяснение определенных характеристик наблюдаемых в настоящее время явлений, но и предоставляет правила, с помощью которых их изменения во времени и пространстве могут быть полностью определены. Он дает ответы на все вопросы, касающиеся их, при условии, что известны необходимые константы и соответствующим образом выбраны основные внешние условия.
Макс Планк (1909)
Содержание
II. Введение в принцип наименьшего действия <— Вы здесь
(c) Принцип наименьшего действия
VII. V. Духовный источник принципа наименьшего действия
Это вторая часть серии о принципе наименьшего действия. В первой части, «Принцип наименьшего действия I», мы познакомились с телеологией. Мы узнали, что телеология — это причина или объяснение чего-либо, что служит функцией его цели, в отличие от чего-либо, что служит функцией его причины. считается, что у него есть цель, задача или конец, к которому они стремятся. Конечная цель называется конечной причиной (causa finalis). Мы также узнали, что иудаизм, несомненно, телеологичен в своей основе и что еврейская вера основана на вере в целенаправленного Б‑га, который создал целенаправленный мир. В этой (второй) части мы получим интуитивное введение в принцип наименьшего действия.
II. Введение в принцип наименьшего действия
1. Минимизация действия
Принцип наименьшего действия легко понять. Скажем, у нас есть частица в точке A во время T1 и в точке B во время T2. Вопрос, который мы можем задать, — как частица попала из точки A в точку B? Другими словами, какой была ее траектория?
Согласно рецепту, предоставленному принципом наименьшего действия, мы присваиваем число (называемое «действием») каждой кривой и выбираем кривую с наименьшим числом — это фактическая траектория, пройденная частицей. Среди трех примеров, приведенных выше на рисунке 1, крайняя правая прямая линия имеет наименьшее число (действие) и фактически является траекторией частицы. В первой формулировке принципа наименьшего действия постулировалось, что прямая линия имеет наименьшее действие (наименьшее число, связанное с ней). Это называется принципом наименьшего расстояния. Позже он был заменен самым быстрым маршрутом — траекторией, которая занимала наименьшее время для прохождения, и, таким образом, называлась принципом наименьшего времени (принцип Ферма). Современная формулировка учитывает разницу между кинетической энергией (энергией движения) и потенциальной энергией (например, потенциальной энергией гравитационного притяжения). Но об этом позже. А пока мы хотим развить интуицию для этого важнейшего универсального принципа.
Отметим, что, используя принцип наименьшего действия, мы можем правильно выбрать траекторию, по которой двигалась частица, на основе наименьшего значения действия, связанного с этой траекторией. Этот выбор делается ex post facto, когда мы уже знаем положение частицы (B) во время T2. Но откуда частица знает, где она окажется, чтобы выбрать правильный путь? Каким-то образом она сразу же встает на правильный путь a priori, как если бы она знала пункт назначения — конечную причину — что является отчетливо телеологическим понятием.
Принцип наименьшего действия гласит, что каждая система развивается во времени таким образом, что определенный параметр («действие», связанный с энергией) системы минимизируется.[1] Это выглядит обманчиво просто:
δS = 0
Здесь S — это параметр, который мы пытаемся минимизировать, называемый действием.[2] Как упоминалось выше, мы присваиваем значение S всем возможным траекториям движущегося объекта (если мы говорим о механике) и выбираем такую траекторию, для которой S является наименьшим — она минимизирована или максимизирована (экстремизирована).
Мы раскроем смысл действия позже. Но сначала отметим телеологическую природу этого очень важного закона — каждая физическая система развивается таким образом, что достигается определенная цель, выбранная a priori — экстремизация действия.
2. Природа эффективна
В основе принципа наименьшего действия лежит удивительно простая идея: природа эффективна. Более того, она максимально эффективна.
Проиллюстрируем этот принцип на повседневном примере.
Представьте, что вы входите в парк и хотите добраться до противоположного конца. Есть много путей, которыми вы можете пойти. Вы можете идти по прямой линии прямо к концу парка. Вы можете пойти окольным путем, отклоняясь в сторону, прежде чем направиться к другому концу. Вы можете немного походить кругами, прежде чем направиться к другому концу. Каждый путь приведет вас к месту назначения, но требует разных усилий. Первый путь — самый прямой и требует наименьшего количества ходьбы. Другие пути занимают больше времени и требуют больше энергии, потому что вы больше двигаетесь.
Грубо говоря, принцип наименьшего действия гласит, что физические системы ведут себя как эффективный человек: он «хочет» добраться из точки A в точку B наиболее эффективным способом — то есть, используя как можно меньше энергии. Действие (параметр, который мы минимизируем) в этом принципе является мерой «усилия», которое система должна приложить, чтобы следовать определенному пути, принимая во внимание как ее кинетическую энергию (энергию из-за движения), так и ее потенциальную энергию (энергию из-за положения).
Итак, подобно тому, как мы можем выбрать кратчайший путь через парк, чтобы сохранить нашу энергию, физическая система «выбирает» путь, который минимизирует ее действие.
Конечно, это упрощенный взгляд на вещи. Но основная идея заключается в том, что природа выбирает путь наименьшего усилия — наиболее эффективный путь, который минимизирует действие. Опять же, достижение этой эффективности является телеологической целью, выбранной a priory.
Эта концепция интуитивно понятна тому, кто верит, что Б‑г создал мир. Б‑г совершенен во всех отношениях, в том числе и в том, что Он совершенно эффективен в создании мира. Поэтому Его творение также эффективно (насколько это возможно в рамках ограничений физического мира), поскольку оно отражает атрибуты своего Создателя.
3. Принцип оптимизации
Мы также можем рассматривать принцип наименьшего действия как принцип оптимизации. С этой точки зрения, принцип наименьшего действия выбирает наиболее оптимальный путь. Каждая живая клетка трудится над оптимизацией (или балансировкой) концентрации определенных элементов (например, натрия и калия) для достижения гомеостаза. Она делает это методом проб и ошибок посредством различных механизмов обратной связи. Как основатель кибернетики Норберт Винер справедливо отметил, все механизмы обратной связи обязательно телеологичны.
Каждая компания, продающая продукт, пытается оптимизировать цену продукта — чем выше цена, тем выше прибыль. С другой стороны, чем выше цена, тем меньше людей могут позволить себе продукт. Каков оптимальный баланс, чтобы цена была достаточно низкой, чтобы быть доступной для большинства клиентов, которые хотят купить продукт, но достаточно высокой, чтобы поддерживать здоровую прибыль? В экономике этот баланс описывается кривой спроса. В целом, рынки функционируют, балансируя спрос и предложение, и это делается методом проб и ошибок.
Физика также оптимизирует баланс кинетической и потенциальной энергии, выбирая путь, для которого действие минимально (или максимально — в общем, экстремально). Однако физической системе не нужны пробы и ошибки — каким-то образом она выбирает оптимальный путь ab initio — с самого начала.
В предыдущем примере принцип наименьшего действия был сформулирован с точки зрения эффективности. Оптимизация похожа, но это более общая концепция. Если мы решим оптимизировать эволюцию физической системы, чтобы максимизировать ее энергоэффективность, то это станет оптимальным путем.
Оптимизация — это всегда баланс. Клетки балансируют концентрацию натрия и калия; рынки балансируют спрос и предложение; а физические системы балансируют кинетическую и потенциальную энергию. Однако физические системы балансируют это без балансировки — их путь сбалансирован с самого начала, как если бы они знали, как это сделать. Разве это не удивительно?
Опять же, давайте отметим телеологическую природу принципа наименьшего действия. Каждая физическая система выбирает путь для оптимизации определенных a priori условий — минимизации (или экстремизации) действия. Если вам было интересно, почему первая часть этой серии была посвящена телеологии, я надеюсь, что к настоящему времени ваш вопрос был отвечен.
С теологической точки зрения, здесь нет никаких сюрпризов. Пророк сказал:
Так говорит Господь: остановитесь на путях ваших и рассмотрите, и расспросите о путях древних, где путь добрый, и идите по нему, и найдете покой душам вашим.
Иеремия 6:16
Пророк призывает нас оценить различные пути и выбрать оптимальный путь — «путь добрый», подобно тому, как частица выбирает оптимальный путь в соответствии с принципом стационарного действия, на который намекает в стихе слово «покой».
Кроме того, Б‑г есть абсолютное и совершенное Существо, а это означает, что что бы Б‑г ни делал, Он делает это оптимально. Неудивительно, поэтому, что Его творения — человеческие или неодушевленные — ведут себя подобно тому, как они были созданы — оптимальным образом.
Теперь, когда у нас есть базовое понимание и интуитивное ощущение принципа наименьшего действия, мы можем углубиться. В следующей части мы рассмотрим историческое развитие принципа наименьшего действия.
Природа эффективна
чтобы выбрать кратчайший путь.
Это следует Всеведущему,
Кто учит природу математике.
Это бережливо, и это оптимально
Чтобы выбрать самый быстрый маршрут.
Из всех возможных маршрутов,
Действие вычисляет.
Действие должно быть оптимизировано —
Избегая каждого потока,
Создатель должен быть признан
Автор этого закона.
Примечания:
[1] Строго говоря, этот параметр либо минимизируется, либо максимизируется — экстремизируется, — но чаще всего он минимизируется, поэтому этот принцип часто называют принципом наименьшего действия. Подробнее об этом позже.
[2] Греческая буква δ («дельта») означает вариацию. Это аналогично производной в исчислении. Когда мы хотим найти минимум или максимум (экстремум) функции, мы берем производную функции. Везде, где производная равна нулю, в этой точке функция находится в своем экстремальном (минимальном или максимальном) значении. Точно так же, когда мы имеем дело с функционалами (функцией функций), мы варьируем их, чтобы увидеть, где вариация равна нулю — это выбирает функцию, которая является минимальной или максимальной по отношению к определенному параметру.
