זה הדבר אשר צוה ה’: לקטו ממנו איש לפי אכלו עומר לגלגלת מספר נפשתיכם איש לאשר באהלו תקחו. ויעשו כן בני ישראל וילקטו המרבה והממעיט. וימדו בעומר ולא העדיף המרבה והממעיט לא החסיר איש לפי אכלו לקטו. (שמות טז-יח)
במדבר, ניתן לעם היהודי מן—עומר[1] אחד (מידה מקראית) לכל בן בית. רש”י מסביר:
יש שאספו [יותר מדי] מן ויש שאספו [מעט מדי], אך כשחזרו הביתה, מדדו בעומר, כל אחד את מה שאסף, ומצאו שמי שאסף [יותר מדי] לא עבר על עומר לכל אדם שהיה באוהלו, ומי שאסף [מעט מדי] לא מצא פחות מעומר לכל אדם. זה היה נס גדול שקרה עמו [המן].
יש שאספו יותר, יש שאספו פחות… אך כשמדדו, כל אחד קיבל בדיוק עומר אחד של מן. איך זה יכול להיות? נניח שמישהו תחילה אסף כמות של עומר ואז החליט לעבוד עוד ואסף כמות נוספת. בדרך כלל, היינו מצפים שהכמות הכוללת שנאספה תהיה הסכום של העומר והכמות הנוספת. אולם, זה לא מה שקרה—כשנמדד המן שנאסף, זה היה בדיוק עומר אחד. באופן דומה, אם מישהו עבד פחות ואסף כמות כלשהי פחותה מהעומר, הוא לא הביא הביתה את ההפרש בין העומר לאותה כמות חסרה, אלא בדיוק עומר אחד. איך זה יכול להיות? עובדה זו יכולה להיות מוסברת בקלות אם נשנה את הנוסחה לכמות המן שנאסף על ידי מקדם לורנץ. [2]
אלה שלמדו את תורת היחסיות הפרטית יבחינו מיד בדמיון המדהים של הנוסחה לחיבור שתי כמויות של מן[3] לנוסחה לחיבור מהירויות.[4] אכן, האנלוגיה ברורה. מהירות האור בוואקום היא קבוע אוניברסלי. זה אומר שאם יורים קרן לייזר מרקטה הטסה במחצית ממהירות האור, מהירות הפוטונים לא תגדל ב־50%. למעשה, כשנמדוד את מהירות הפוטונים באותה קרן אור, נמצא שכולם נעים באותה מהירות קבועה c—מהירות האור בוואקום. באופן דומה, אם יורים קרן לייזר מרקטה הטסה בכיוון הנגדי במחצית ממהירות האור, מהירות הפוטונים לא תקטן ב־50%. היא עדיין תהיה c—מהירות האור בוואקום.
כך גם עם המן. אלה שעבדו יותר או עבדו פחות—כשנמדד, כולם אספו את אותה כמות, עומר אחד של מן. העומר של מן הוא גם קבוע אוניברסלי בדיוק כמו מהירות האור בוואקום. אולי זו הסיבה שעומר אחד של מן נשמר לדורות הבאים—בוודאי, כדי להזכיר לנו את הנס במדבר סיני—אך גם, אולי, כדי ללמד אותנו את מושג היחסיות.
הערות שוליים:
[1] עומר הוא מידה מקראית המשמשת לדגנים ולמוצרים יבשים אחרים. במערכת המקראית של משקלים ומידות, עומר אחד שווה לעשירית איפה. איפה שווה ל־72 לוגים. לוג אחד שווה למינה השומרית, המוגדרת כשישית של מריס. לכן, עומר אחד היה שווה לשתים עשרה מאיות של מריס. ביחידות עכשוויות, ערך העומר שונה מעט לפי דעות שונות. כך, עומר הוא 2.16 ליטר לפי הרמב”ם, 2.49 ליטר לפי הרב אברהם חיים נאה, כ־3 ליטר לפי הצמח צדק, ו־4.3 ליטר לפי החזון איש.
[2] מקדם לורנץ הוא כמות המבטאת כמה המדידות של זמן, אורך ותכונות פיזיקליות אחרות משתנות עבור עצם בזמן שאותו עצם נע. הוא מופיע במספר ביטויים בתורת היחסיות הפרטית ונגזר על ידי הפיזיקאי ההולנדי הנדריק לורנץ. מקדם לורנץ נכתב כ־γ = 1/√(1-β2), β = v/c, כאשר v היא המהירות היחסית, ו־c היא מהירות האור בוואקום. במקרה שלנו, β = m/o, כאשר m היא כמות נוספת של מן שנאספה בנוסף ל־(או פחות מ־)עומר, ו־o הוא העומר.
[3] נוסחה זו יכולה להיכתב כ־m’ = ( m1 + m2)/(1+ m1m2/o 2), כאשר m1 היא כמות המן שנאספה בתחילה, m2 היא הכמות הנוספת של מן, m‘ היא הכמות הכוללת של מן, ו־o הוא העומר. נוסחה זו יכולה להיגזר בקלות מהנחת קביעות העומר (על בסיס העיקרון המקראי שאיש לא אסף יותר או פחות מהעומר): ( o – m’)/( o + m’) = [( o – m2)/( o + m2)] [( o – m1)/( o + m1)].
[4] נוסחה זו היא v‘ = (v1 + v2)/(1+ v1v2/c2). נוסחה זו נגזרת מהנחה דומה של קביעות מהירות האור c בוואקום.
