Автор: Александр Полторак

«Б‑г — математик»
Карл Фридрих Гаусс

I. Можем ли мы доказать, что Б-г создал аксиомы математики?

1. Введение

Читатель задал мне вопрос: «Можете ли вы доказать, что Б-г создал основные положения (аксиомы) математики?» Это глубокий вопрос, который заслуживает более подробного ответа.

Не существует общепринятого «доказательства» в математическом смысле, что Б‑г является автором аксиом (или «основных положений») математики. Вопрос о том, является ли Б‑г основанием — то есть метафизическим фундаментом — или источником математических истин, является давним философским и теологическим спором. Вот несколько точек зрения на этот вопрос, а также причины, по которым не существует формального, общепринятого доказательства.

2. Как вообще должно выглядеть «доказательство»?

i. Природа математического доказательства

В математике доказательства демонстрируют, что вывод логически следует из набора аксиом. Сами аксиомы принимаются как истинные без доказательства. Например, в «Началах» Евклида (ок. 300 г. до н.э.) Евклид строит геометрические теоремы на основе своих знаменитых пяти постулатов (аксиом). Однако «Начала» просто постулируют (то есть предполагают), что эти аксиомы истинны и самоочевидны, а не доказывают их в каком-либо смысле. (Euclid, 1908/ original work c. 300 BCE) Хотя аксиомы больше не обязаны быть самоочевидными, аксиомы всегда обязательно принимаются (т.е. предполагаются) как истинные по номинальной стоимости. Все предприятие аксиоматической математики имеет следующую форму: предполагая посылки A, B, …, и C (аксиомы), какие теоремы могут быть логически выведены из них?

Однако, если кто-то стремится показать, что «Б‑г является источником этих аксиом», это уже не математическое утверждение. Это становится метафизическим или теологическим утверждением. Математические системы, по замыслу, не пытаются доказать или опровергнуть аксиомы или доказать существование или действия божественного существа, что является областью теологии.

ii. Философские и теологические рамки

Доказательство того, что Б‑г является источником математических истин, переносит вопрос с «Каковы наши аксиомы?» на «Почему эти аксиомы вообще должны существовать и откуда они возникают?» (Kant, 1787)

Необходимо принять определенные философские или теологические предпосылки, чтобы говорить о «доказательстве» того, что Б‑г создал аксиомы. Различные философские традиции (теистические, атеистические, деистические и т. д.) имеют разные основополагающие предположения. Любое «доказательство» опирается на предпосылки, которые могут быть неприемлемы для всех.

3. Традиционные линии аргументации

Несмотря на отсутствие формального доказательства, существуют классические аргументы — некоторые взяты из теологии, некоторые из философии математики — которые пытаются связать Б‑га с существованием математических истин.

i. Платонистские или реалистические взгляды

Математический платонизм

Платон считал, что математические объекты (такие как числа и формы) существуют в вечной, неизменной сфере «Форм». (Plato, 1925/ 4th century BCE)

Философы математики выражали взгляды на природу математических объектов, которые делятся на четыре категории: (а) платоники, которые считают, что математические объекты существуют вне пространственно-временных ограничений и не причинно взаимодействуют с физической материей; (b) физикалисты, которые считают, что число — это общая категория, описывающая счет подобных физических объектов; (c) менталисты, которые считают, что числа и другие математические объекты существуют только в нашем воображении; и (d) контрреалисты, которые считают, что математические объекты не существуют. Среди этих подходов последние три часто критикуются как бессвязные, оставляя платонизм единственным жизнеспособным вариантом.

Некоторые математики и философы утверждали, что математические объекты и истины существуют независимо от человеческого разума в абстрактной сфере. (Gödel, 1947), (Penrose, 2004)

Некоторые теологи утверждают, что, если эти вечные сущности существуют, Б‑г может быть ответственен за поддержание этой сферы. (Plantinga, 1982)

Б‑г как «Божественный разум»

Согласно этой точке зрения, математические истины вечно существуют в разуме Б‑га. (Augustine of Hippo, 395 CE/1993) Последовательность и вечность математики отражают неизменную природу ее божественного источника.

ii. Пресуппозиционная апологетика

Б‑г как основа логики и разума:

Корнелиус Ван Тил утверждал, что законы логики и рационального мышления предполагают теистическое мировоззрение. (Van Til, 1955) Другие, такие как Грег Л. Бансен, распространили этот аргумент на математику, предполагая, что без Б‑га как высшей основы последовательности логики и математики не хватает трансцендентального основания. (Bahnsen, 1998)

Здесь аргумент состоит в том, что логика, разум и математика предполагают порядок и рациональность вселенной, которые, как говорят, подкрепляются рациональным характером Б‑га. Без Б‑га — так гласит этот аргумент — аксиомы теряют свое трансцендентальное основание.

Важно отметить, что в еврейской теологической традиции мы не утверждаем рациональность Б‑га, который, как считается, превосходит рациональность. Конечно, Б‑г является высшей причиной порядка и рациональности в нашем мире. Однако, будучи неограниченным существом, Он не может быть ограничен каким-либо образом. Мы не можем поместить Б‑га в смирительную рубашку рациональности. Это выражается изречением нимна ха-нимна’от (буквально «ограничение [всех] ограничений»). (Rashba, 1997/ original work 1470), (Maharal, 1582), (Tzemach Tzedek, 1912) Сущность Б‑га совершенно неизвестна нам и превосходит любые человеческие представления о рациональности и логике.

iii. Космологические аргументы или аргументы дизайна

«Непостижимая эффективность математики»

Физик Юджин Вигнер знаменито отметил, что математика «непостижимо эффективна» в описании физической реальности. (Wigner, 1960) Некоторые теисты утверждают, что творческий замысел Б‑га объясняет, почему математические структуры так хорошо соответствуют физической вселенной. (Polkinghorne, 1991), (Dembski, 1999)

Математическая элегантность и законы природы

Для некоторых элегантность фундаментальных уравнений в физике и других науках предполагает, что за законами природы и математикой, описывающей эти законы, стоит божественный автор.

iv. Рациональная интуиция & Imago Dei

Другой угол зрения состоит в том, что люди могут постигать необходимые истины, включая математические аксиомы, потому что люди созданы по образу Б‑га, imago Dei (Бытие 1:26–27).

Наша способность «видеть», что определенные положения (например, 1+1=2) должны быть истинными, может отражать божественную искру или отпечаток.

4. Проблемы для этих аргументов

i. Альтернативные объяснения

Натуралист или атеист может утверждать, что математика возникает из фундаментальных человеческих интуиций (например, о количестве, логике, закономерностях), которые развились, потому что они давали преимущества для выживания или отражали последовательные структуры, которые мы наблюдаем в природе. Таким образом, Милль утверждал, что математика в конечном счете эмпирична и основана на индуктивных рассуждениях из опыта. (Mill, 1843) Согласно этому объяснению, нет необходимости в божественном источнике.

Этот аргумент имеет фатальный недостаток — неспособность связать определенные математические теории или концепции с физическим миром. Например, математика часто включает в себя понятие бесконечности. Существует бесконечное количество натуральных чисел. У нас есть множества с бесконечным количеством элементов и т. д. Однако в физической вселенной нет по-настоящему бесконечного объекта. Более того, Георг Кантор показал, что существует много различных типов бесконечности, один больше другого, и бесконечное их количество, что демонстрируется через концепцию кардинальности. Мы даже не можем представить эти различные бесконечности в физическом мире. (Hilbert, 1925/1983) По этой причине аргумент натуралиста терпит неудачу.

ii. Множественность аксиоматических систем

Не существует единого монолитного набора аксиом для всей математики; математики часто исследуют альтернативные аксиоматические системы (например, неевклидову геометрию, различные логики, теории множеств). (Lobachevsky, 1829–1830), Какие из этих систем были бы «теми, которые создал Б‑г», если бы за ними стоял Б‑г? Разнообразие математически обоснованных рамок может вызвать вопросы о понятии Б‑га как единственного дизайнера уникального набора аксиом.

Это возражение, мягко говоря, наивно. Во-первых, многие альтернативные геометрии находят реализацию в физическом мире. Таким образом, геометрия Лобачевского является частным случаем римановой геометрии, используемой в общей теории относительности для описания гравитации. Во-вторых, Б‑г рассматривает все возможные миры. Тот факт, что мы населяем один из них, не подразумевает никакого ограничения творческой силы Б‑га, который может думать о любой математической теории, включая теории, основанные на взаимоисключающих аксиомах.

iii. Языковые игры

В «Замечаниях об основаниях математики» Витгенштейн оспаривает традиционные взгляды на математическую достоверность и объективность. Его аргумент можно резюмировать следующим образом. Математика — это не открытие уже существующих истин, а набор разнообразных языковых игр с правилами, установленными человеческой практикой. Математическая необходимость не метафизична, а грамматична — математические положения функционируют как правила использования языка, а не как описания реальности. Математическое доказательство не открывает истины, а генерирует новые методы и концепции, которые расширяют нашу математическую практику. Достоверность математики основана на согласии в том, как мы следуем правилам в языковых сообществах, а не на соответствии абстрактным объектам. Математическое понимание демонстрируется знанием того, как использовать математические концепции в различных контекстах, а не постижением абстрактных сущностей. Работа противопоставляет платонизм и предполагает, что математика — это человеческое творение, встроенное в формы жизни, а не открытие трансцендентных истин. (Wittgenstein, 1956/1978)

Можно, однако, утверждать, что Витгенштейн полностью игнорирует «непостижимую эффективность» математики, сводя ее к языковым играм.

iv. Теоремы Гёделя о неполноте

Теоремы Гёделя показывают, что в достаточно сильных аксиоматических системах есть истинные утверждения, которые нельзя доказать из этих аксиом. (Gödel, Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931) Это подчеркивает ограничения любой аксиоматической структуры в захвате каждой математической истины. То, видит ли кто-то в этом соответствие божественной тайне или просто присущее математическое свойство, зависит от философской позиции.

Тем не менее, если что-то и есть, то теоремы Гёделя намекают на то, что существует более высокая истина, чем то, что зафиксировано формальным выводом. Существование истинных утверждений, которые нельзя доказать из аксиом теории, может указывать на высший источник и арбитр истины, а именно, Б‑га. Неудивительно, что сам Гёдель был верующим и внес вклад в теологию, формализовав лейбницевскую версию онтологического аргумента.

5. Почему окончательное, универсальное доказательство маловероятно

Разница в отправных предположениях

Если вы начинаете с предпосылки, что Б‑г существует и является источником всей истины, то естественно интерпретировать математическую истину как излияние божественного разума. Если, однако, вы начинаете без такой предпосылки, то математика просто «есть». Однако, что это «есть» на самом деле, мы не знаем. Математика «существует» в абстрактном мире — платонических небесах — превосходя время, пространство и причинность. Нет физического аналога такому существованию. По крайней мере, математика представляет собой серьезный вызов физикалистскому взгляду на мир.

Границы категорий

Доказательства в математике имеют точное определение, основанное на логическом выводе из аксиом. Утверждение о том, что трансцендентное Существо установило эти аксиомы, переводит дискуссию в теологию и метафизику. Такое утверждение выходит за рамки того, что можно доказать с помощью одних только инструментов математики.

Рациональные и нерациональные факторы

Убежденность в теологическом выводе часто включает в себя веру или откровение в дополнение к рациональному аргументу. Даже блестящие философы и теологи, которые принимают существование Б‑га, делают это посредством сочетания рассуждений, традиций и личного опыта — а не только каким-либо математическим или логическим доказательством.

6. Заключение

Не существует и не может, в принципе, существовать консенсусного «доказательства» того, что Б-г создал аксиомы математики, потому что сама природа этого утверждения является метафизической, а доказательства в строгом математическом смысле не действуют в этой области. Вместо этого различные мировоззрения предлагают различные объяснения того, почему математика так последовательна и универсальна. Теистические перспективы рассматривают математику как вытекающую из природы Б‑га или творческого акта; атеисты видят ее как сконструированную человеком структуру (хотя и точно отражающую реальные структуры во вселенной), без постулирования божественного источника.

В конечном счете, то, как вы интерпретируете математические истины — как божественно обоснованные, чисто абстрактные или возникающие из человеческого познания — зависит от ваших общих философских или теологических обязательств. Сама математическая практика не может разрешить этот вопрос, потому что она не выходит — и не может выйти — за рамки своей собственной аксиоматической структуры, чтобы показать, кто или что установил эти аксиомы в первую очередь.

II. Аргумент о необходимых истинах:

Тем не менее, вопрос, который мы исследовали в Части I, можно перефразировать в форме, которая гораздо интереснее. В философии математические истины считаются необходимыми истинами — иначе и быть не может. Или, используя модальную логику в традиции Лейбница, мы можем сказать, что необходимые истины истинны во всех возможных мирах. Фундаментальный метафизический вопрос заключается в том, что придает необходимым истинам их необходимость? Утверждение, что «только Б‑г может обосновать такие необходимые истины», означает, что только необходимое существо (Б‑г) может обеспечить адекватное метафизическое основание для истин, которые не могли бы быть иными.

Аргумент о том, что только Б‑г может обосновать необходимые математические истины, имеет богатую философскую историю.

1. Природа математической необходимости

Математические истины кажутся необходимыми, а не случайными (они не могли бы быть иными). Некоторые философы утверждают, что только Б‑г мог бы обосновать такие необходимые истины.

Математические истины, по-видимому, имеют уникальный тип необходимости. Когда мы говорим «2+2=4» или «внутренние углы треугольника в евклидовой геометрии в сумме составляют 180 градусов», эти утверждения кажутся необходимо истинными — они не могли бы быть иными. В отличие от эмпирических фактов (таких как «вода кипит при 100°C на уровне моря»), которые зависят от того, как устроена наша вселенная, математические истины, по-видимому, превосходят физическую реальность и останутся истинными даже в совершенно разных возможных мирах.

2. Философский вызов

Эта необходимость представляет собой глубокий философский вызов: Что обосновывает или объясняет эти необходимые истины? Как сформулировал Лейбниц в «Рассуждении о метафизике», если математические истины вечны и необходимы, они должны иметь какое-то вечное и необходимое основание. (1686//1991)

3. Формализация аргумента:

Вот формальное представление аргумента:

1. Математические истины необходимо истинны (они не могли бы быть иными)
2. Необходимые истины требуют необходимого основания или обоснования
3. Случайные существа или системы (включая человеческий разум, социальные условности или физическую реальность) не могут адекватно обосновать необходимые истины
4. Следовательно, необходимые истины должны быть основаны на чем-то, что само по себе имеет необходимое существование
5. Только Б‑г обладает атрибутом необходимого существования
6. Следовательно, Б‑г является основой математической истины

Августин впервые разработал версию этого аргумента в «De Libero Arbitrio». (395 CE/1993) Он рассуждал, что математические истины вечны и неизменны, но они не являются физическими объектами. Поскольку они превосходят человеческий разум (мы скорее открываем их, чем изобретаем) и физическую реальность, они должны существовать в разуме Б‑га.

Декарт развил эту линию мышления в своей «Пятой медитации» (1641). (Descartes, 1641/1984) Он утверждал, что математические истины — это «вечные истины», которые Б‑г свободно создал, но сделал необходимо истинными. Для Декарта необходимость математики отражает неизменность Б‑га: Б‑г не меняет Свое мнение о том, что есть истина.

Лейбниц еще больше уточнил этот аргумент. В своей переписке с Кларком (1715-1716) он утверждал, что необходимые истины, в том числе математические, существуют в том, что он называл «пониманием Б‑га». Б‑г созерцает все возможные миры, и необходимые истины — это те, которые справедливы во всех этих возможностях. (1956)

4. Современная формулировка Элвина Плантинги

В работе «Есть ли у Бога природа?» (1980) Плантинга представляет сложную версию этого аргумента. Он предполагает, что абстрактные объекты, такие как числа и математические истины, лучше всего понимать как божественные мысли. Как он выражается, «числа и множества лучше всего рассматривать как свойства Б‑га», в частности, как «божественные мысли или концепции». Плантинга утверждает, что если бы математические истины были независимы от Б‑га, они представляли бы собой реальность вне творческой деятельности Б‑га, ограничивая божественный суверенитет. Вместо этого он предлагает, чтобы эти необходимые истины основывались на необходимой природе Б‑га.

Этот взгляд разрешает несколько метафизических головоломок:

1. Онтологический статус математики: Математические объекты существуют как божественные мысли, а не как таинственные платонические сущности или простые человеческие соглашения.
2. Необходимость математики: Математические истины необходимы, потому что они отражают необходимую природу Б‑га.
3. Математическое знание: Наша способность открывать математические истины объясняется тем, что мы созданы по образу Б‑га, с умами, способными постигать божественные математические мысли.
4. Применимость математики: Эффективность математики в описании физической реальности имеет смысл, если и математика, и физическая реальность имеют один и тот же божественный источник.

5. Пересмотренный формальный аргумент

В разделе 3 выше мы перечислили шесть шагов формального аргумента, чтобы доказать, что Б‑г является основой математической истины. Я считаю второй шаг — Необходимые истины требуют необходимого основания или обоснования — довольно сомнительным. Почему необходимая истина требует основания или обоснования? Я предлагаю другую форму этого аргумента, которая позволяет избежать этого сомнительного шага:

1. Б‑г — это обязательно безграничное существо
2. Б‑г — это необходимое существо (Он существует необходимо во всех возможных мирах)
3. Математические истины обязательно истинны (они существуют во всех возможных мирах)
4. Если бы математические истины существовали вне Б‑га, это ограничило бы вездесущность Б‑га во всех возможных мирах, что противоречило бы безграничности Б‑га (посылка 1)
5. Следовательно, математические истины обязательно существуют в Б‑ге
6. Следовательно, Б‑г является основой математической истины

1. Заключение

Утверждение, что «только Б‑г может обосновать такие необходимые истины», означает, что только необходимое существо (Б‑г) может обеспечить адекватное метафизическое основание для истин, которые не могли бы быть иными. Этот аргумент предполагает несколько конкретных значений «обоснования»:

1. Онтологическая зависимость: Математические истины зависят от Б‑га в своем существовании. Они существуют как божественные мысли или как аспекты природы Б‑га, а не как независимые реальности.

• Объяснительное основание: Б‑г объясняет, почему математические истины необходимы, а не случайны. Без Б‑га не было бы объяснения, почему «2+2=4» должно быть истинным во всех возможных мирах.

• Источник необходимости: Математические истины черпают свою необходимость из необходимой природы Б‑га. Подобно тому, как Б‑г не может не существовать, эти истины не могут не быть истинными.

• Причинное основание: В некоторых версиях (особенно у Декарта) Б‑г делает математические истины необходимыми посредством божественного указа.

• Создатель истины: Б‑г служит создателем истины для математических утверждений — реальностью, которая делает математические утверждения истинными.

Разные философы подчеркивают разные аспекты этих обосновывающих отношений. Для Лейбница математические истины существуют в понимании Б‑га. Для Августина они существуют в божественном разуме. Для Аквинского они являются аспектами божественной мудрости. Для Плантинги они являются божественными мыслями или концепциями.

Мы также предлагаем новое доказательство того, что Б‑г является основанием или фундаментом математической истины, используя модальную логику, которая более устойчива к критике.

Аргумент предполагает, что без Б‑га математические истины были бы либо:

• Необъяснимо плавающими платоническими сущностями
• Просто человеческими соглашениями, лишенными подлинной необходимости
• Грубыми фактами без объяснения
• Несуществующими

Отношение обоснования предлагает метафизическое объяснение того, почему математические истины обладают теми своеобразными чертами, которыми они обладают: необходимостью, вечностью, неизменностью и понятностью. Тот факт, что необходимость математических истин может быть объяснена только обращением к Б‑гу как к их автору, дает еще одну причину сказать, что более рационально верить в Б‑га, чем нет.

Ссылки

Августин Гиппопотамский. (395 CE/1993). De Libero Arbitrio (О свободе воли) (Тома: Книга II, главы 8-15). (Т. Уильямс, пер.) Hackett Publishing Company.

Bahnsen, G. L. (1998). Апологетика Ван Тиля: Чтения и анализ. Presbyterian and Reformed Publishing Co.

Dembski, W. A. (1999). Разумный замысел: Мост между наукой и теологией. InterVarsity Press.

Декарт, Р. (1641/1984). Размышления о первой философии, Пятое размышление. В Философские сочинения Декарта (J. Cottingham, R. Stoothoff, & D. Murdoch, Trans., Vol. 2, стр. 44-49). Cambridge University Press.

Евклид. (1908/ оригинальная работа ок. 300 г. до н.э.). Тринадцать книг «Начал» Евклида. (T. Heath, Trans.) Cambridge University Press.

Гёдель, К. (1931). Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. Monatshefte für Mathematik und Physik, 38, 173–198.

Гёдель, К. (1947). Что такое проблема континуума Кантора? The American Mathematical Monthly, 54(9), 515-525. doi:10.1080/00029890.1947.11990229

Гильберт, Д. (1925/1983). О бесконечном. В P. Benacerraf, & H. Putnam (Ред.), Философия математики: Избранные чтения (2 изд., стр. 183-201). Cambridge University Press.

Кант, И. (1787). Критика чистого разума (2-е изд. (издание B) ред.).

Лейбниц, Г. (1686//1991). Рассуждение о метафизике. В R. Ariew, & D. Garber (Ред.), Философские эссе (Тома: Разделы 2, 13 и 30, стр. 35-68). Hackett Publishing Company.

Лобачевский, Н. И. (1829–1830). Новые начала геометрии с полной теорией параллелей.

Магарал, Т. (1582). Гвурот Гашем. Франкфурт-на-Майне.

Милль, Дж. С. (1843). Система логики, дедуктивной и индуктивной.

Пенроуз, Р. (2004). Путь к реальности: Полное руководство по законам Вселенной. Jonathan Cape.

Плантинга, А. (1980). Есть ли у Бога природа? Marquette University Press.

Плантинга, А. (1982). Как быть антиреалистом. Proceedings and Addresses of the American Philosophical Association, 56(1), 47-70. doi:10.2307/3131293

Платон. (1925/ 4 век до н.э.). Тимей. В Платон в двенадцати томах (Том 9). (В. Лэмб, пер.) Harvard University Press.

Полкингхорн, Дж. (1991). Разум и реальность: Взаимосвязь между наукой и теологией. Trinity Press International.

Рашба, Т. (1997/ оригинальная работа 1470). Респонсы Рашбы (Шу”т ГаРашб”а) (Тома: Том I, разд. 418). (Х. Димитровский, Ред.) Иерусалим: Моссад Гарав Кук.

Переписка Лейбница и Кларка: Вместе с выдержками из «Начал» и «Оптики» Ньютона. (1956). В H. G. Alexander (Ред.). Manchester University Press.

Цемах Цедек. (1912). Сефер ГаХакира. Иерусалим.

Ван Тил, К. (1955). Защита веры. Presbyterian and Reformed Publishing Co.

Вигнер, Е. П. (1960). Непостижимая эффективность математики в естественных науках. Communications in Pure and Applied Mathematics, vol. 13(1), 1–14.

Витгенштейн, Л. (1956/1978). Замечания об основаниях математики. В G. H. von Wright, R. Rhees, & G. E. Anscombe (Ред.). MIT Press.

Дополнение

Ниже приводится представление нашего шестиступенчатого аргумента с использованием идиомы (пропозициональной) модальной логики — в частности, нормальной системы, по крайней мере, такой же сильной, как S5 (которая часто используется для «метафизической необходимости»). Читатели, незнакомые с символикой модальной логики, могут смело перейти к Заключению.

1. Определите основные положения

У нас есть следующие английские утверждения:

1. Б‑г — это обязательно безграничное существо.
2. Б‑г — это необходимое существо (Он существует необходимо во всех возможных мирах).
3. Математические истины обязательно истинны (они существуют во всех возможных мирах).
4. Если бы математические истины существовали вне Б‑га, это ограничило бы вездесущность Б‑га во всех возможных мирах, противореча безграничности Б‑га (посылка 1).
5. Следовательно, математические истины обязательно существуют в Б‑ге.
6. Следовательно, Б‑г является основой математической истины.

Мы хотим выразить эти утверждения в виде модальных формул. Мы введем пропозициональные символы и, где необходимо, будем использовать стандартные модальные операторы:

□ϕ читается как «ϕ обязательно истинно».

◊ϕ читается как «ϕ возможно истинно».

Мы также предполагаем, что «Б‑г существует» или «Б‑г присутствует» в некотором модальном смысле — обычно выражается как □G
(«Б‑г обязательно существует»), если G = «Бог существует».

Выбор обозначений:

1. Пусть □L = «Б‑г обязательно безграничен (вездесущ, не ограничен ни в одном мире)».
2. Пусть □EG = «Б‑г — необходимое существо» (т.е. Б‑г существует во всех возможных мирах).
3. Пусть □M = «Математические истины обязательно истинны» (они справедливы в каждом возможном мире).
4. Пусть In(M, G) = «Математические истины существуют в Б‑ге». (Это отражает «Б‑г является основанием или местом математических истин» или «Математика не существует вне Б‑га».)

Решающее утверждение о безграничности (посылка 4) можно формализовать, сказав: «Если бы M была вне Б‑га, это подразумевало бы ¬L». В пропозициональной логике мы могли бы рассматривать «M находится вне Бога» как отдельное положение O. Но, поскольку мы связываем это с необходимостью/возможностью, мы предпочитаем условное выражение: «□M ∧ Outside(M,G) ⇒ ¬L».

Имея все это в виду, ниже приведена формальная версия моего аргумента.

Аргумент, формализованный в модальной логике

Упрощенное символическое представление может выглядеть так:

□L («Б‑г обязательно безграничен»)

□EG («Б‑г обязательно существует»)

□M «Математические истины обязательно истинны»

(□M ∧ Outside(M,G))→¬L («Если бы математические истины существовали вне Б‑га в каком-либо мире, это противоречило бы безграничности Б‑га»)

□ In(M,G) («Следовательно, математические истины обязательно существуют в Б‑ге»)

F (или «□ In(M,G) → F») («Следовательно, Бог является основой математической истины»)

Мы можем указать, что (5) следует, отметив: из (4) и (1) мы исключаем возможность «Outside(M,G)», поэтому единственным оставшимся вариантом является «In(M,G)» — и с □M это приводит к «□In(M,G)». Тогда (6) — это скорее теологическая или метафизическая интерпретация (5).

Примечания о валидности и обоснованности

Валидность: Вышеизложенное является валидным аргументом в пропозициональной модальной логике (с нормальными правилами вывода). То есть, если мы принимаем каждую посылку как истинную, то выводы следуют логически.

Обоснованность: Являются ли сами посылки истинными — это отдельный философский или теологический вопрос. Например, критик может оспорить идею безграничного Б‑га на том основании, что такое определение может быть бессвязным. Тем не менее, формально у нас есть последовательный набор посылок, которые влекут за собой вывод в стандартной модальной логике.

1. Резюме

Краткая символическая форма, совместимая с модальными рассуждениями в стиле S5, может выглядеть так:

1. □L («Б‑г обязательно безграничен»)
2. □EG («Б‑г обязательно существует»)
3. □M («Математические истины справедливы»)
4. (□M ∧ Outside(M,G))→¬L («Если бы математические истины существовали вне Б‑га, это противоречило бы 1»)
5. ∴□ In(M,G) («Следовательно, математические истины существуют в Б‑ге»)
6. ∴F. («Следовательно, Б‑г является основой математической истины»)

Шаги (5) и (6) следуют из (1) – (4) по стандартным правилам модальной пропозициональной логики (modus tollens, распределение необходимости и т. д.), с любой незначительной связующей посылкой, что «□ In(M,G) подразумевает, что Б‑г является основой для математики». Помня, что абсолютный Б‑г идентичен Своим божественным атрибутам, и, следовательно, «разум Б‑га» идентичен сущности Б‑га, мы можем видеть, что в конце нашей версии аргумента мы приходим к тому же выводу, что и Плантинга, но без второй посылки его аргумента, которая может быть оспорена.

© 2025 Александр Полторак. Все права защищены.