Зрелище вселенной становится намного величественнее, намного прекраснее, достойнее своего Автора, когда знаешь, что небольшого числа законов, мудро установленных, достаточно для всех движений. Пьер Луи Мопертюи (1744)
Среди более или менее общих законов, открытие которых характеризует развитие физической науки в течение последнего столетия, принцип наименьшего действия в настоящее время, безусловно, является одним из тех, которые, по своей форме и всесторонности, можно сказать, наиболее приблизились к идеальной цели теоретического исследования. Его значение, правильно понятое, распространяется не только на механические процессы, но и на тепловые и электродинамические задачи. Во всех отраслях науки, к которым он применяется, он дает не только объяснение определенных характеристик явлений, встречающихся в настоящее время, но и предоставляет правила, посредством которых их изменения во времени и пространстве могут быть полностью определены. Он дает ответы на все вопросы, касающиеся их, при условии, что известны необходимые константы и надлежащим образом выбраны основные внешние условия. Макс Планк (1909)
Содержание
II. Введение в принцип наименьшего действия
(c) Принцип наименьшего действия
IV. Современная формулировка <— Вы здесь
II. Введение в принцип наименьшего действия
(c) Принцип наименьшего действия
IV. Современная формулировка <— Вы здесь
VI. Духовный источник принципа наименьшего действия
Это четвертая часть серии о принципе наименьшего действия. В первой части, «Принцип наименьшего действия I», мы познакомились с телеологией. Мы узнали, что телеология — это причина или объяснение чего-либо, что служит функцией его цели, в отличие от чего-либо, что служит функцией его причины. Считается, что вещи имеют цель, задачу или конец, к которому они стремятся. Конечная цель называется конечной причиной (causa finalis). Мы также узнали, что иудаизм, несомненно, является телеологическим в своей основе и что еврейская вера основана на вере в целенаправленного Б‑га, который создал целенаправленный мир. Во второй части мы познакомились с принципом наименьшего действия. Мы узнали, что принцип наименьшего действия является формальным представлением таких простых идей, как эффективность и оптимизация. Природа стремится подражать своему Создателю как можно лучше. Поэтому эффективность природы является проявлением совершенства бесконечного Создателя в конечных пределах физического мира. В третьей части мы рассмотрели историю развития принципа наименьшего действия. Мы встретились с Героном, который первым ввел понятие кратчайшего расстояния; Пьером де Ферма и Готфридом Лейбницем, которые предложили «Принцип наименьшего времени»; Иоганном Бернулли, который сформулировал вариационный принцип; Пьером-Луи де Мопертюи, который ввел принцип наименьшего действия; Леонардом Эйлером и Жозефом-Луи Лагранжем, которые вывели уравнения движения Эйлера-Лагранжа. Мы увидели, как каждая из этих формулировок имела сильные телеологические оттенки и теологические параллели. В этой части мы узнаем о современном формировании лагранжевой механики, основанной на принципе наименьшего действия.
1. Лагранжева механика
Лагранжева формулировка классической механики является переформулировкой ньютоновской механики и обеспечивает единую основу для изучения движения систем. В ньютоновской механике, чтобы предсказать эволюцию частицы, мы должны знать ее начальные условия — ее начальное положение и начальную скорость — и все силы, действующие на частицу. В формулировках, использующих принцип наименьшего действия, мы не обязаны знать начальную скорость или силы, действующие на частицу. Все, что нам нужно знать, это начальное и конечное положения частицы и ее энергию.
Сердцем этой формулировки является лагранжиан, L, который определяется как разница между кинетической энергией системы (энергией движения) и ее потенциальной энергией (энергией, обусловленной положением). Математически:
L = T – V,
где T — кинетическая энергия, а V — потенциальная энергия.
Вместо использования традиционных декартовых координат, таких как x, y и z, в лагранжевой формулировке часто используются «обобщенные координаты», обозначаемые q. Это могут быть углы, длины или любые другие удобные параметры, описывающие систему.
Как упоминалось ранее, основная идея принципа наименьшего действия заключается в том, что природа «предпочитает» пути движения, которые минимизируют (или, точнее, экстремизируют) определенную величину, называемую «действием». Действие — это интеграл (представьте его как суммирование) лагранжиана по времени. Говоря более простым языком, это означает, что из всех возможных способов движения чего-либо, оно выберет путь, который «стоит» меньше всего с точки зрения этого действия.
Уравнение Эйлера-Лагранжа — это математическая формулировка, полученная из принципа наименьшего действия. Это дифференциальное уравнение, определяющее, как система развивается во времени. Решив это уравнение, вы можете предсказать эволюцию системы.[1] В то время как принцип наименьшего действия является интегральным принципом (в котором это действие — интеграл лагранжиана по времени — экстремизируется), который имеет сильные телеологические оттенки, уравнения движения Эйлера-Лагранжа являются дифференциальными уравнениями, которые не имеют намека на телеологию. Подобно ньютоновской механике, уравнения Эйлера-Лагранжа описывают движение посредством эффективной причинности — каждое состояние определяется состоянием непосредственно перед ним. Эти два подхода — интегральный и дифференциальный — хотя каждый из них несет в себе очень разный метафизический багаж — математически эквивалентны друг другу.
Лагранжева формулировка классической механики предоставляет единый, элегантный и часто более простой способ изучения динамики систем. Вместо того чтобы иметь дело непосредственно с силами, она работает с энергетическими функциями и идеей о том, что системы развиваются таким образом, чтобы минимизировать действие.
Однако лагранжева формулировка несет в себе сильные телеологические оттенки. В ньютоновской механике мы знаем только начальные условия частицы — ее начальное положение и скорость. Нам также необходимо знать все силы, действующие на частицу, чтобы предсказать ее эволюцию во времени. Лагранжева механика обходится без сил. Однако она требует знания не только начального положения частицы, но и ее конечного положения. Вопрос в том, как частица узнает свое конечное положение, чтобы понять, как двигаться? Опора на конечную причину является характерной чертой телеологии.
Телеологическая природа принципа наименьшего действия горячо обсуждается современными философами, прежде всего на основании того факта, что уравнения Эйлера-Лагранжа, которые эквивалентны принципу наименьшего действия в его вариационной форме, обходятся без конечной причины (конечного положения частицы), заменяя ее эффективной причинностью, как и в ньютоновской механике. Но уравнения Эйлера-Лагранжа выводятся из принципа наименьшего действия. Поэтому, даже если они явно не содержат информации о конечном положении частицы, она подразумевается, поскольку она содержится в вариационном принципе, из которого выводятся уравнения Эйлера-Лагранжа. Некоторые философы утверждают, что объяснительная стрела идет в любом направлении, и это личный выбор каждого, в зависимости от его метафизических обязательств, как на это смотреть.
Я согласен, несмотря на всю его элегантность, принцип наименьшего действия не доказывает существование разумного Создателя. В некотором смысле, когда дело касается неодушевленной материи, рука Б‑га скрыта, сохраняя нашу свободу выбора — верить или не верить. Однако, когда дело касается живой материи, которая, в отличие от пассивной неодушевленной материи, активно преследует цели выживания и размножения, (локально) нарушая второй закон термодинамики, выбора больше нет. Признание разумного Создателя, который наделяет живую материю целями, к которым она должна стремиться, больше не является вопросом метафизических обязательств, это вопрос интеллектуальной честности. Но это другая тема, которая требует отдельного обсуждения.
А пока достаточно сказать, что многие великие физики, будучи полностью осведомлены о математической эквивалентности между вариационным принципом наименьшего действия и уравнениями Эйлера-Лагранжа, тем не менее, поддерживали телеологический характер первого. Дедушка квантовой физики, Макс Планк, сказал следующее о принципе наименьшего действия:
Принцип наименьшего действия вводит совершенно новую идею в концепцию причинности: к causa efficiens, которая действует из настоящего в будущее и заставляет будущие ситуации казаться определенными более ранними, присоединяется causa finalis, для которой, наоборот, будущее — а именно, определенная цель — служит предпосылкой, из которой можно вывести развитие процессов, которые ведут к этой цели.[2]
Планк не только поддерживал телеологическое значение принципа наименьшего действия, но и разоблачил научную и философскую предвзятость, которая мешает другим мыслителям признать эту очевидную истину:
Наиболее адекватная формулировка этого закона создает у каждого непредвзятого ума впечатление, что природа управляется рациональной целенаправленной волей.[3]
Другое возражение, выдвинутое против телеологической интерпретации принципа наименьшего действия, связано с интегральной формулировкой квантовой механики Фейнмана по траекториям.
Но что нам делать с этой странной величиной, лагранжианом, определяемым как разница между кинетической и потенциальной энергией? В физике мы привыкли видеть сумму этих двух форм энергии, составляющих полную энергию системы, но не разницу. Позже мы увидим, как еврейская мистика проливает свет на эту головоломку.
Примечания:
[1] Чтобы понять реальное значение лагранжевого подхода, представьте, что вы изучаете движение маятника. В формулировке Ньютона вы будете иметь дело непосредственно с силами, что может быть довольно сложно, если маятник, скажем, качается в двух измерениях или если есть ограничение на его движение. С лагранжевым подходом вы будете использовать угол в качестве обобщенной координаты и разработаете уравнение, основанное на энергиях. Это может быть намного проще и интуитивнее во многих случаях.
[2] Макс Планк, Научная автобиография и другие статьи, (Нью-Йорк, Философская библиотека, 1949), [1937], 179-80, См. также Йемима Бен-Менахем, Причинность в науке, (Princeton University Press, 2018), стр. 150.
[3] Там же, стр. 177.
