Загадка числа Пи

14 марта отмечается любителями математики во всем мире как День числа Пи. В цифровом формате 3/14 представляет первые три цифры числа, традиционно обозначаемого греческой буквой «π» (произносится пи) – 3,14. День числа Пи отмечается поеданием пирогов и обсуждением значения π. Некоторые люди, у которых слишком много свободного времени, соревнуются в запоминании десятичных знаков, представляющих значение числа пи. Рекорд в настоящее время составляет 67 890 знаков! Хотя поедание пирога является необязательным, обсуждение значения π является обязательным.

Итак, что такое π и почему оно так важно? π, пожалуй, самая известная математическая константа, выражающая отношение между длиной окружности и ее диаметром. Если взять круг с диаметром 1, длина окружности этого круга составит примерно 3,14159265… — «примерно» является здесь ключевым словом, но об этом позже. Таким образом, для круга радиуса (половина диаметра) «r» длина окружности круга составляет 2πr, а площадь круга вычисляется как πr². Понятно, почему π так важна, например, при измерении земли.

Однако π появляется не только в геометрии, но и в теории чисел, алгебре, анализе, статистике и других математических дисциплинах. В физике π поистине повсеместна.

В древности вавилоняне аппроксимировали π как ближайшее целое число – 3. Однако земледелие, архитектура и инженерия требуют знания π с разумной точностью. Вавилоняне знали, что целое число 3 является лишь грубым приближением.

Вавилонская табличка, найденная недалеко от Суз (ок. 19-17 веков до н.э.), дает приближение π как ²⁵⁄₈ = 3,125, правильно определяя первый десятичный знак.

Египетский папирус Ринда (ок. 1600 г. до н.э.) аппроксимирует π как ²⁵⁶⁄₈₁ ≈ 3,16. Некоторые египтологи утверждают, что строители пирамид использовали отношение ²²⁄₇ = 3,142… для π. Конечно, первые два десятичных знака в этом приближении верны. В Шатапатха-брахмане (ок. 6^го века до н.э.) индийские астрономы оценили π как ³³⁹/₁₀₈ = 3,139…

В 3^м веке до н.э. Архимед доказал, что π больше, чем ²²³⁄₇₁ ≈ 3,1408…, но меньше, чем ²²⁄₇ ≈ 3,1428… Во 2^м веке до н.э. греческий астроном Птолемей использовал приближение ³⁷⁷⁄₁₂₀ ≈ 3,1416… В 3-м веке н.э. китайский математик Лю Хуэй очень точно аппроксимировал π до четырех десятичных знаков как ³⁹²⁷/₁₂₅₀ = 3,1416. В 6^м веке н.э. индийские математики получили то же значение π, что и ⁶²⁸³²/₂₀₀₀₀ = 3,1416. К 5^му веку н.э. китайские математики улучшили значение π до седьмого знака. Сегодня значение π известно до триллионов знаков.

Точное значение π было впервые открыто немецким математиком Готфридом Лейбницем. Формула Лейбница для π представляет собой бесконечный ряд:

Тот факт, что точное значение π может только быть выражено как бесконечный ряд, имеет большое значение, как мы увидим позже.

Евреи, покинувшие Египет, должно быть, знали приблизительное значение π, которое тогда использовали египтяне – в конце концов, еврейские рабы строили пирамиды. Таким образом, некоторые задают вопрос, почему Танах дает самое грубое приближение π. Действительно, в I Царств 7:23 мы читаем:

И сделал он литое море от края до края в десять локтей, совсем круглое, и вышиною в пять локтей; и шнур в тридцать локтей обнимал его кругом.

Аналогично, во II Паралипоменон 4:2 мы находим почти идентичный отрывок:

И сделал море литое в десять локтей от края его до края его, круглое со всех сторон, вышиною в пять локтей, и снурок в тридцать локтей обнимал его кругом.

Круглый бассейн, сделанный из литого металла для Бейт ха-Микдаш (Первого Храма) в Иерусалиме царем Соломоном, имел диаметр 10 локтей и окружность 30 локтей. Соответственно, кажется, что π подразумевается равным 3. Первый Храм был построен царем Соломоном в 832 году до нашей эры. К тому времени вавилоняне и египтяне уже знали лучше.

Даже если мы предположим, arguendo, что древние евреи не знали значения π за пределами его целого значения (3), они, конечно, знали, как измерять. Если они сделали бассейн диаметром 10 локтей, то, измерив его окружность, они обнаружили бы, что она составляет примерно 31,41 локтя; округление до ближайшего целого числа дало бы 31 локоть, а не 30. Любавичский Ребе, раввин Менахем Мендель Шнеерсон, объяснил это следующим образом: окружность бассейна фактически составляла 30 локтей. Соответственно, диаметр составлял примерно 9,55 локтей и был округлен до целого числа 10. Это объяснение разрешает вопрос о том, почему окружность составляла 30 локтей, а не 31.

В действительности я вообще не вижу здесь проблемы. Танах – это не учебник по математике. Нигде в цитируемых стихах пророки не ставили перед собой задачу раскрыть нам значение π. В стихах описываются размеры бассейна, использовавшегося в Храме. Как объяснил Ребе, при окружности бассейна в 30 локтей диаметр составил чуть меньше 10 локтей и был просто округлен до 10. Бассейн уже был построен, поэтому не было необходимости в точных инженерных чертежах или точных размерах. Писание просто сообщает нам приблизительные размеры бассейна, которые округлены до целых чисел. В этом нет ничего странного или необычного.

Однако некоторые из наших мудрецов считали, что приведенные выше стихи требуют объяснения. Таким образом, Мишнат ха-Миддот пытается решить эту проблему, постулируя край толщиной примерно 0,225 локтя, который был включен в измерение диаметра, но не в окружность. Таким образом, он аппроксимирует π как ²²⁄₇, или 3,14135… Датировка этого источника, однако, неясна. Некоторые приписывают его Тане, раввину Нехемии, в этом случае эта работа может быть датирована примерно 150 годом нашей эры, в то время как другие авторитеты датируют эту книгу поздним периодом Гаоним, примерно 9^м веком нашей эры.

Перенесемся в двадцатый век, и раввин Макс Мунк предложил интересное понимание стихов в Танахе. (Это понимание часто ошибочно приписывают Виленскому Гаону. Это было решительно оспорено профессором Элишаковым и доктором Пайнсом в статье «Расходятся ли Писание и математика в числе π?» B’Or HaTorah, 17, стр. 141-42.)

В I Царств письменное слово (ктив), используемое для «диаметра», – «קוה» (Куф-Вав-Хе), что не имеет смысла в данном контексте. Напротив, во II Паралипоменон слово для диаметра пишется как «קָו» (Куф-Вав), что означает «линия». Однако, согласно Месоре (масоретской традиции), слово в I Царств читается иначе, чем пишется (кри) – оно читается как קָו (Куф-Вав), точно так же, как оно написано во II Паралипоменон. Раввин Мунк указывает, что гематрия קוה (100+6+5) равна 111, а гематрия קו (100+6) равна 106. Он интерпретировал отношение этих двух значений – ¹¹¹/₁₀₆ – как поправочный коэффициент: если вы умножите подразумеваемое значение для π (3) на этот коэффициент, вы получите ³³³/₁₀₆ = 3,14150… – приближение π с точностью до четвертого десятичного знака. Это было бы гораздо более точное приближение π, чем было известно в течение многих столетий после этого.

В конечном счете, какое бы соотношение вы ни нашли, оно всегда будет лишь приближением истинного значения π и, следовательно, всегда будет открыто для критики.

Реальная проблема заключается в том, что π никогда не может быть по-настоящему выражено как отношение двух целых чисел – это иррациональное число (рациональные числа – это те, которые могут быть выражены как отношение двух целых чисел). Интересно, что именно Маймонид (Рамбам) первым заявил, что π иррационально. Объясняя Мишну, которая постулирует 3 как галахическое (юридическое) значение π, Маймонид объясняет, что число 3 является таким же хорошим приближением, как и любое другое, потому что мы все равно не можем вычислить π точно. Помимо того, что π является иррациональным числом, π также является трансцендентным числом, что означает, что оно не является решением или корнем алгебраического уравнения.

Однажды я спросил раввина Адина Штейнзальца (да будет ему рефуа шлема), если иррациональные и трансцендентные числа реальны, где мы можем найти их в Торе?» В ответ раввин Штейнзальц процитировал известное высказывание еврейско-немецкого математика 19^го века Леопольда Кронекера, который сказал: «Die ganzen Zahlen hat der liebe G-tt gemacht, alles andere ist Menschenwerk» (Бог создал целые числа, все остальное – дело рук человеческих).

Это не тривиальный вопрос. Фактически, это суть дебатов в философии математики о том, «существуют» ли математические объекты в каком-то онтологическом смысле и «открываются» ли они математиками, или они «изобретаются» математиками и существуют только в нашем сознании. Платон основал школу мысли, согласно которой математические объекты существуют как идеальные формы и открываются нами. Кронекер, с другой стороны, придерживался противоположной точки зрения. Мне кажется, что, выбрав целое число (3), которое является плохим приближением π, Пророки не демонстрировали незнание лучших приближений, хорошо известных в древности; скорее, они открывали нам что-то другое – глубокую истину о природе математики. Как выразился Кронекер: «Бог создал целые числа, все остальное – дело рук человеческих».

Как доказал Георг Кантор в 19^м веке, иррациональных и трансцендентных чисел бесконечно больше, чем рациональных. Более того, рациональные и иррациональные числа представляют собой два разных вида бесконечности. Целые (и рациональные) числа потенциально могут быть сосчитаны до бесконечности, но в любой данный момент времени всегда есть конечное число тех из них, которые вы сосчитали до сих пор. Рациональные числа называются счетными. Этот тип бесконечности называется потенциальной бесконечностью. Действительные числа, которые включают иррациональные и трансцендентные числа, отличаются. Если взять действительную прямую и отметить на ней конечный отрезок, скажем, между нулем и единицей, на этом отрезке будет бесконечное число точек (т.е. действительных чисел). Иррациональные числа называются несчетными. Такая бесконечность называется актуальной бесконечностью.

Мидраш Рабба говорит, что при создании мира Бог смотрел в Тору как в чертеж. Ни одно из этих чисел не встречается в Торе. Никакое вычисление гематрии не может привести к иррациональному или трансцендентному числу, такому как π. Если они реальны, почему мы не находим их в Торе – чертеже творения? Или, возможно, Тора говорит нам, что их там нет, потому что они не реальны (без каламбура)?

Вопрос об использовании действительных (не говоря уже о комплексных) чисел, которые включают иррациональное и трансцендентное число в физике, весьма сомнителен. Эрнст Мах (философ физики, известный принципом Маха, который оказал глубокое влияние на Эйнштейна), как и другие философы-позитивисты, считал, что в физической теории следует допускать только физически измеримые величины. Однако всякий раз, когда мы что-то измеряем, результатом всегда является целое число или рациональное число, никогда иррациональное или трансцендентное. Как же тогда нам разрешено использовать иррациональные и трансцендентные числа в физике, если они не являются счетными? Я боролся с этим вопросом с подросткового возраста. Я так и не нашел ответа… Возможно, нам нужно построить для физики специальную математику, основанную только на рациональных числах? Это один из многих вопросов и загадок числа π.

###

(Сокращенная версия этой статьи была опубликована сегодня в The Jewish Press)