המחזה של היקום הופך להיות כה גרנדיוזי יותר, כה יפה יותר, כה ראוי יותר ליוצרו, כאשר יודעים שמספר קטן של חוקים, שנקבעו בחוכמה רבה, מספיקים לכל התנועות.
פייר לואי מופרטואי (1744)
בין החוקים הכלליים פחות או יותר, אשר גילויים מאפיין את התפתחות המדע הפיזיקלי במהלך המאה האחרונה, עקרון הפעולה המינימלית הוא כיום בהחלט אחד מהם אשר, על ידי צורתו ורוחב היקפו, ניתן לומר שהתקרב ביותר למטרה האידיאלית של החקירה התיאורטית. משמעותו, כשהיא מובנת כראוי, משתרעת, לא רק על תהליכים מכניים, אלא גם על בעיות תרמיות ואלקטרודינמיות. בכל ענפי המדע שעליהם הוא חל, הוא נותן, לא רק הסבר למאפיינים מסוימים של תופעות הנתקלות כיום, אלא מספק כללים שבאמצעותם ניתן לקבוע לחלוטין את הווריאציות שלהן עם זמן ומרחב. הוא מספק את התשובות לכל השאלות הנוגעות להן, בתנאי שהקבועים הדרושים ידועים והתנאים החיצוניים הבסיסיים נבחרים כראוי.
מקס פלאנק (1909)
תוכן העניינים
ב. מבוא לעקרון הפעולה המינימלית
III. היסטוריה <— אתה נמצא כאן
VII. V. המקור הרוחני של עקרון הפעולה המינימלית
זהו החלק השלישי בסדרה על עקרון הפעולה המינימלית. בחלק הראשון, “עקרון הפעולה המינימלית I,” הוכרנו לטלאולוגיה. למדנו שטלאולוגיה היא סיבה או הסבר למשהו המשמש כפונקציה של המטרה שלו, בניגוד למשהו המשמש כפונקציה של הסיבה שלו. מאמינים שיש לו מטרה, יעד או מטרה שהוא שואף אליה. המטרה הסופית נקראת הסיבה הסופית (causa finalis). כמו כן למדנו שהיהדות היא ללא ספק טלאולוגית עד היסוד ושהאמונה היהודית מבוססת על האמונה בא־לוהים בעל מטרה, שברא עולם בעל מטרה. בחלק השני, הוכרנו לעקרון הפעולה המינימלית. למדנו שעקרון הפעולה המינימלית הוא ייצוג פורמלי של רעיונות פשוטים כגון יעילות ואופטימיזציה. הטבע שואף לחקות את בוראו כמיטב יכולתו. לכן, היעילות של הטבע היא ההתגלות של השלמות של הבורא האינסופי בגבולות הסופיים של העולם הפיזי. בחלק זה (השלישי), אנו הולכים לסקור את ההיסטוריה של התפתחות עקרון הפעולה המינימלית, אשר יעמיק את הבנתנו של עקרון קרדינלי זה של המדע.
III. היסטוריה
עקרון הפעולה המינימלית הוא עקרון הממלא תפקיד יסודי בניסוח המכניקה הקלאסית (גם מכניקת לגראנז’ וגם מכניקת המילטון), המכניקה הרלטיביסטית (גם תורת היחסות הפרטית וגם הכללית), האלקטרודינמיקה, מכניקת הזורמים, המכניקה הקוונטית, פיזיקת החלקיקים, תורת השדות הקוונטית ותורת המיתרים. הוא משמש גם בביולוגיה, כלכלה ותחומים אחרים מחוץ לפיזיקה. התפתחותו ההיסטורית שזורה עמוקות עם התקדמות הפיזיקה וההבנה של העולם הטבעי. סקירה קצרה של ההיסטוריה שלו עשויה לעזור לנו לפתח הבנה אינטואיטיבית עמוקה יותר של עקרון זה.
1. העת העתיקה
איור 3. אוקלידס מאת חוזה דה ריברה, כ-1630–1635 (ויקיפדיה, רשות הציבור)
הזרעים המוקדמים ביותר של הרעיון ניתן למצוא ביוון העתיקה. אוקלידס[1] כתב בספרו Catoptrica[2] שעבור נתיב האור המתרפרף ממראה, זווית הפגיעה שווה לזווית ההחזרה,[3] מה שמרמז שקרן האור נוסעת לאורך הנתיב הקצר ביותר—קו ישר.[4]
הרון האלכסנדרוני[5] במאה ה-1 לספירה תיאר במפורש את “חוק ההחזרה” באמצעות הרעיון של “הנתיב הקצר ביותר”.[6] זהו רמז מוקדם לעקרונות וריאציוניים בפיזיקה.
איור 4. תיאור גרמני מהמאה ה-17 של הרון האלכסנדרוני (ויקיפדיה, רשות הציבור).
מנקודת מבט תיאולוגית, בחירת הנתיב הנכון—דרך הישר (“הדרך הישרה”) היא חובה דתית. לדוגמה, אנו מוצאים במשלי:
בכל דרכיך דעהו והוא יישר אורחותיך.
משלי ג:ו
אנו מוצאים גם את החובה הזאת בתהילים:
הורני ה’ דרכך נחני בארח מישור…
תהילים כז:יא
כאשר מתנבא על שיבת הגולים במהלך הגאולה הסופית, ירמיהו כותב:
הולכתים אל נחלי מים בדרך ישרה לא יכשלו בה…
ירמיהו לא:ט
הקבלה הלוריאנית מלמדת שלאחר הצמצומים הקדמוניים (צמצום)—ההסתרה הראשונית של האור האלוהי אור אין סוף—יצירת חלל ריק (חלל) לעולם, א־לוהים שלח קרן של האור האלוהי אל החלל הריק. קרן האור הזאת נקראת בקבלה, הקו ([קו] ישר). האם זה פלא שהעולם שנברא על ידי קו הישר הזה מתנהג באופן דומה על ידי בחירת האור הישר כמסלול התנועה המועדף?
2. הרנסאנס
(א) עקרון פרמה
איור 5. דיוקן של פייר דה פרמה מאת יוצר לא ידוע, מאה 17 (רשות הציבור, ויקיפדיה)
עקרון המרחק המינימלי עובד היטב במקרה מיוחד, כאשר האור נוסע דרך מדיום יחיד. אולם, כאשר האור חוצה שני מדיומים או יותר, כמו אוויר ומים, הוא כבר לא נוסע בקו ישר—עקרון המרחק המינימלי כבר לא עובד במקרה הכללי הזה. בשנת 1662, המתמטיקאי הצרפתי פייר דה פרמה הציע את “עקרון הזמן המינימלי” להתפשטות האור, הידוע כיום באופטיקה כעקרון פרמה. הוא הציע שהאור נוסע בין שתי נקודות לאורך הנתיב הדורש את הזמן המינימלי. הוא קדם בזה על ידי גוטפריד לייבניץ.[7] כדי לחשב את נתיב האור המתפשט דרך שני מדיומים צריך לחשב את הזמנים של האור הנוסע בכל מדיום בנפרד (כי האור נוסע במהירויות שונות במדיומים שונים) ואז למזער את הזמן הכולל, מה שייתן את זווית השבירה. עקרון הזמן המינימלי הוא הכללה של עקרון המרחק המינימלי.
איור 6. גוטפריד וילהלם לייבניץ, מאת כריסטוף ברנהרד פרנקה, 1695 (ויקיפדיה, רשות הציבור)
כדי לפתח הבנה אינטואיטיבית של עקרון פרמה, הבה נניח שאתה אוהב לרכב על אופניים לעבודה ושואף להגיע למשרד שלך בזמן הקצר ביותר האפשרי. ישנן שתי דרכים למשרד שלך—אחת נתיב ישר מחוץ לכביש החוצה דשאים עשביים וכתמי בוץ, ואחרת היא דרך סלולה שארוכה יותר אך לא חסומה. בעקבות עקרון הרון של הנתיב הישר, היית בוחר בנתיב הישר מחוץ לכביש ומגיע למשרד מאוחר. בחירה בדרך סלולה אף שארוכה יותר תביא אותך למשרד מהר יותר.
דוגמה אחרת, ואולי טובה יותר, ניתנה על ידי ריצ’רד פיינמן בהרצאות שלו. נגיד, מציל שצופה על שחיינים על החוף מבחין במישהו שטובע באוקיינוס. הוא לא הולך לקפוץ מיד לאוקיינוס אלא ירוץ קודם לאורך החוף לפני הכניסה למים, כי הוא יודע שריצה על משטח יבש מהירה יותר משחייה במים. המטרה היא להגיע לאדם הטובע מהר ככל האפשר—כלומר, מזעור הזמן הכולל. [8]
בחירת a priori בנתיב הלוקח זמן מינימלי, יש לה גוונים טלאולוגיים חזקים. ריצ’רד פיינמן הדגיש זאת בהרצאות המפורסמות שלו:
הרעיון של סיבתיות, שהיא עוברת מנקודה אחת לאחרת, וכן הלאה, קל להבנה. אבל עקרון הזמן המינימלי הוא עיקרון פילוסופי שונה לחלוטין לגבי האופן שבו הטבע פועל. במקום לומר שזה דבר סיבתי, שכאשר אנחנו עושים דבר אחד, משהו אחר קורה, וכן הלאה, הוא אומר כך: אנחנו מגדירים את המצב, והאור מחליט מהו הזמן הקצר ביותר, או הקיצוני ביותר, ובוחר במסלול הזה. אבל מה הוא עושה, איך הוא מגלה? האם הוא מריח את המסלולים הסמוכים, ובודק אותם זה מול זה?[9]
התלמוד מספר את סיפורו של רבי יהושע שפגש נער צעיר בצומת דרכים. רבי יהושע שאל את הנער איזו הדרך מובילה לעיר, והנער סיפר לו על שתי דרכים – דרך קצרה אך ארוכה ודרך ארוכה אך קצרה. רבי יהושע בחר תחילה בדרך הקצרה אך ארוכה, שהייתה קצרה במרחק אך היו בה מכשולים שהאריכו את המסע. אז הבין את דברי הנער. יש דרכים ארוכות יותר, שהן המהירות ביותר.[10] רבי שניאור זלמן מלאדי בחר בביטוי זה – דרך ארוכה אך קצרה – כאפיגרף לתניא.[11]
מנקודת המבט של ההלכה היהודית, ההלכה, עקרון הזמן המינימלי נראה עדיף על פני עקרון המרחק המינימלי. התלמוד דן במצב שבו כהן נטמא (טומאה) בעודו בבית המקדש (בית המקדש).[12] אסור לכהן להיות בבית המקדש במצב של טומאה (טומאה טקסית). האם עליו לחפש את הדרך הקצרה ביותר או המהירה ביותר ליציאה מהמתחם הקדוש? לדוגמה, הוא עשוי לראות שני שערים המובילים החוצה, אחד קרוב אליו והשני רחוק יותר. הוא רואה המוני אנשים נכנסים לשטח בית המקדש מהשער הקרוב ומבין שאם ירוץ לכיוון השער הקרוב, הוא יואט משמעותית על ידי ההמונים הנעים בכיוון ההפוך – הוא ירוץ נגד הזרם. השער הרחוק יותר פנוי, ללא המונים בינו לבין השער. ברור שבניסיון למזער את זמן שהותו הבלתי מותרת על האדמה הקדושה, סביר להניח שהכהן ירוץ לשער הרחוק יותר, כי ייקח לו פחות זמן להגיע אליו.
מנקודת המבט של הקבלה, נראה מתאים להכליל את עקרון המרחק הקצר ביותר עם עקרון פרמה. בהיררכיה הרוחנית של הקבלה, הזמן מופיע ‘לפני’ המרחב. בעולם האצילות (העולם הרוחני הגבוה ביותר), שש המידות (הספירות התחתונות) – חסד, גבורה, תפארת, נצח, הוד, ויסוד – מרכיבות את סדר הזמנים – הקדמון לזמן. [13] המרחב, שמופיע נמוך יותר בעץ הספירות במלכות של אצילות, יורש את אותו המבנה, שבו שש מידות יוצרות שישה כיוונים (ארבעת כיווני המצפן בתוספת מעלה ומטה) במרחב התלת-ממדי שלנו. יתר על כן, במטאפיזיקה של הפילוסופיה החסידית של חב”ד, המרחב מזוהה עם ההווה ה’כרוך’ בין העבר לעתיד.[14] המרחב, במובן מסוים, מקורו בזמן. אכן, הזמן מוגדר כשינוי והמרחב כהיעדר שינוי (יציבות, קביעות). עם זאת, השינוי הוא הראשוני, לא הקביעות. הבריאה עוקבת אחר הקצב של רצוא ושוב.[15] בהתאם לכך, קביעות היא מצב לא טבעי הן לעולמות הרוחניים והן לעולמות הפיזיים. מכאן נובע שהזמן הוא ראשוני והמרחב משני. אם עקרון המרחק הקצר ביותר מוגבל למדיום יחיד, כאשר בוחנים מקרה כללי יותר של מדיה מרובה, טבעי רק להסתכל על המציאות הגבוהה יותר מהמרחב, כלומר, הזמן, כדי לחפש הכללה של עיקרון זה. לכן, החלפת המרחק הקצר ביותר בזמן הקצר ביותר עשויה לשקף את התפיסה הקבלית שבמקורו הרוחני, הזמן הוא מושג גבוה יותר מהמרחב ובמובן מסוים, מכיל את המרחב.
(ב) חשבון וריאציות
איור 7. עקומת הירידה המהירה ביותר אינה קו ישר או מצולע (כחול) אלא ציקלואיד (אדום). מאת רוברט פראול (נחלת הכלל, ויקימדיה)
איור 8. יוהאן ברנולי מאת יוהאן רודולף הובר, בערך 1740 (נחלת הכלל, ויקימדיה)
בשנת 1696, יוהאן ברנולי[16] הציג את בעיית הברכיסטוכרון[17]: “מהי צורת העקומה שלאורכה חרוז, תחת כוח הכבידה בלבד, יחליק (ללא חיכוך) מנקודה אחת לאחרת בזמן הקצר ביותר?” הפתרון לבעיה זו שהוצע על ידי יוהאן ואחיו ושותפו, יעקב ברנולי, וכן על ידי אייזק ניוטון ואחרים, השתמש בעקרון הווריאציה. הם עזרו לפתח את חשבון הווריאציות כתחום מתמטי. [18]
(ג) עקרון הפעולה המינימלית
במאה ה-18, בערך בשנת 1746, המתמטיקאי והפיזיקאי הצרפתי פייר-לואי מורו דה מופרטואי הציע את עקרון הפעולה המינימלית, המציע שהטבע פועל באופן שממזער כמות מסוימת הקשורה לפעולה. כפי שאמר במפורסם, “הטבע חסכני בכל פעולותיו.” בעוד שהניסוח של מופרטואי לא היה כללי לחלוטין או נכון לגמרי, הוא הציג את הרעיון שעקרונות וריאציוניים כאלה עשויים לתאר את הטבע.
איור 9. פייר לואי מורו דה מופרטואי, תחריט מאת ג’. דולה, 1741, על פי ר. לברק-טורנייר, 1737 (נחלת הכלל, ויקימדיה)
כפי שהוזכר קודם, מתמטית, עקרון הווריאציה מבוטא בנוסחה פשוטה:
δS = 0
בדיוק כמו בחשבון דיפרנציאלי רגיל, הנגזרת המתאפסת מסמנת את הערך הקיצוני (מינימום או מקסימום) של הפונקציה, בחשבון וריאציות, הווריאציה המתאפסת מסמנת את הערך הקיצוני (מינימום או מקסימום) של הפונקציונל S (פעולה).
מעניין לציין שמופרטואי לא התכוון לפתח גישה חדשה לפיזיקה. הוא פיתח את עקרון הפעולה המינימלית שלו, שאותו פרסם ב-1750 בחוברת דקה בשם “מסה על הקוסמולוגיה”, במטרה יחידה להוכיח את קיומו של הקב”ה. הוא כתב:
חוקי התנועה והמנוחה הנגזרים מעיקרון זה הם בדיוק אותם חוקים הנצפים בטבע, אנו יכולים להתפעל מיישומו בכל התופעות. תנועת בעלי החיים, הצמיחה הצמחית של צמחים… הם רק תוצאותיו; ומחזה היקום נעשה גדול יותר, יפה יותר, ראוי יותר ליוצרו, כאשר יודעים שמספר קטן של חוקים, שנקבעו בחוכמה רבה, מספיקים לכל התנועות. [19]
ציטוט זה מראה כיצד מופרטואי קישר את העיקרון שלו לרעיון של קוסמוס אלוהי מסודר. הוא האמין שמספר קטן של חוקים פשוטים, שנקבעו באלגנטיות, שולטים בכל התנועות והתופעות ביקום, וזו הייתה עדות לחוכמת הבורא. למרות שהחוברת שלו התקבלה בלעג על ידי אינטלקטואלים בני זמנו, בסופו של דבר, המתמטיקה שלו הניחה את היסודות לפיזיקה המודרנית. אני מאמין שכשם שמופרטואי היה מוצדק במתמטיקה שלו, הוא מוצדק בייחוס האחדות והאלגנטיות של התכנון לחוכמת הבורא.
ההצעה שהטבע פועל באופן שממזער כמות מסוימת היא טלאולוגית מעצם הגדרתה – ההתנהגות הפיזית מוסברת על ידי הנחת מטרה, סיבה סופית.
איור 10. לאונרד אוילר מאת יעקב עמנואל הנדמן (נחלת הכלל, ויקימדיה)
לאונרד אוילר,[20] אחד המתמטיקאים הפוריים ביותר בהיסטוריה, תרם רבות לפיתוח עקרון הפעולה המינימלית על ידי ניסוח משוואות התנועה הידועות כיום כמשוואות אוילר-לגרנז’. הוא שילב לעתים קרובות את כתביו המדעיים עם הרהורים תיאולוגיים. הוא האמין בסדר הרציונלי של היקום וראה את יד האלוהים בתכנונו.
ב”מכתבים לנסיכה גרמנית”, אוילר כותב על נושאים שונים, נוגע בהרמוניה של היקום ויחסו לבורא. הוא כתב:
מאחר שמבנה היקום הוא המושלם ביותר ומעשה ידיו של בורא חכם ביותר, דבר לא מתרחש ביקום שבו לא מופיע כלל כלשהו של מקסימום או מינימום.[21]
קטע זה מבטא את אמונתו של אוילר ביקום מסודר אלוהי שבו חוכמת האלוהים ניכרת בשלמות וביעילות של תכנונו.
ז’וזף-לואי לגרנז’[22] תרם גם הוא תרומות יסודיות לחשבון הווריאציות ופיתח עוד את רעיון הפעולה המינימלית במכניקה, מה שהוביל לניסוח הלגרנז’י של המכניקה הקלאסית.
איור 11. ז’וזף-לואי לגרנז’ (נחלת הכלל, ויקימדיה)
כאשר אנו מחפשים מסלול של חלקיק, כפי שהוא מתפתח מהרגע ההתחלתי T1 לרגע הסופי T2, טבעי להשתמש בחשבון וריאציות. המילה העברית שנה משמשת בדרך כלל כמטאפורה לזמן.[23] שנה קשורה לשינוי. לכן, אנו משנים את הפעולה כדי לקבוע את ההתפתחות בזמן.
דרך אחרת להסתכל על זה מוצעת על ידי הרמב”ם, שקובע בספרו הגדול משנה תורה שהדרך הנכונה היא דרך האמצע (דרך המיצוע):
הדרך הנכונה היא האמצע בכל קבוצת תכונות המשותפות לאנושות; כלומר, אותה תכונה המרוחקת באופן שווה משני הקצוות בסוגה, ואינה קרובה יותר לאחד מהשני.[24]
כיצד אנו משיגים את הדרך האמצעית הזו? בקבלה, העץ הספירותי כולל שלושה עמודים—העמוד האמצעי (כתר, תפארת, יסוד, מלכות), העמוד הימני (חכמה, חסד, נצח), והטור השמאלי (בינה, גבורה, הוד). באופן אידיאלי, אנו נדרשים ללכת בדרך האמצע (או בטור האמצעי). במציאות, אולם, אנו מנסים למצוא את דרך האמצע הזו על ידי סטייה מעט ימינה, בכל פעם מתקנים את עצמנו כדי לחזור לאמצע אך מחטיאים את המטרה וסוטים מעט שמאלה, שוב מתקנים את עצמנו כדי לחזור לאמצע, וכן הלאה. תנודה זו בין קצוות מנוגדים בניסיון להשיג את דרך האמצע היא המקבילה הרוחנית לעקרון הווריאציה, שבו אנו משנים את המסלול (מסלול החלקיק) כדי למצוא את הדרך הישרה (או המהירה) ביותר.
זוהי הגרסה הרוחנית של עקרון הווריאציה.
הקבלה תיאולוגית לעקרון הפעולה המינימלית מבוססת על חיקוי הקב”ה. יש דרכים רבות לחיות את החיים. איזו דרך עלינו לבחור? התורה מלמדת אותנו שהדרך הנכונה היא לחקות את הקב”ה בכל דרכינו.[25] כפי שכתוב:
קדושים תהיו כי קדוש אני ה’ אלוהיכם.
ויקרא י”ט:ב
עלינו להיות צודקים כי אלוהים צודק; עלינו להיות חסדים כי אלוהים חסד, וכו’. במרחב הרעיוני, שבו מרחק נמדד לפי מידת הדמיון, הציווי לחקות את אלוהים יכול להתבטא מתמטית כמזעור המרחק המפריד בינינו לבין אלוהים. ככל שאנו פועלים בדמות אלוהים יותר, כך אנו קרובים יותר אליו. אולם, לא רק בני אדם חייבים לחקות את אלוהים; כל הטבע חייב! אכן, אנו מוצאים באיוב:
…ומבשרי אחזה אלוה.
איוב יט:כו
“בשר” בפסוק זה הוא כינוי לחומר או לטבע. אנו יכולים לראות את אלוהים בטבע, בעולם החומרי, כי גם הוא מחקה את אלוהים. המדרש אומר שהיה קל לאלוהים לברוא את העולם כמו שקל לנו לבטא את האות הא, האות החמישית של האלפבית (האלפבית העברי), שמבוטאת רק על ידי נשיפה. החכמים אומרים לנו שהבריאה הייתה ללא מאמץ עבור אלוהים. ( בראשית רבה ג:ב, י:יב), שהיא רק נשיפה שאינה דורשת מאמץ כלל. בחיקוי בוראה, הטבע מפעיל כמה שפחות מאמץ בבחירת נתיב התנועה. זוהי גרסה רוחנית של עקרון הפעולה המינימלית.
הערות שוליים:
[1] אוקלידס, מתמטיקאי יווני, שפרח בסביבות 300 לפנה”ס, היה הגיאומטר והלוגיקן המפורסם ביותר של העת העתיקה הנחשב לאבי הגיאומטריה. הוא ידוע בעיקר בזכות חיבורו יסודות, שהניח את יסודות הגיאומטריה.
[2] קטופטריקה, הידועה גם בשם קטופטריקס היא יצירתו של אוקלידס העוסקת בתורה המתמטית של מראות.
[3] זווית הפגיעה היא הזווית בין קרן האור הנכנסת לבין הקו הניצב למשטח המחזיר. זווית ההחזרה היא הזווית בין קרן האור המוחזרת לבין אותו קו ניצב.
[4] מקס הלצברגר, “אופטיקה מאוקלידס להויגנס,” אופטיקה יישומית, 1966, 5 (9), עמ’ 1383–93.
[5] הרון מאלכסנדריה, הידוע גם בשם הירון מאלכסנדריה, היה מתמטיקאי ומהנדס יווני, שפרח בסביבות 60 לפנה”ס. במתמטיקה, הוא זכור בעיקר בזכות נוסחת הרון לחישוב שטח משולש באמצעות אורכי צלעותיו בלבד.
[6] מוריס קליין, מחשבה מתמטית מהעת העתיקה לעת החדשה. (ניו יורק: הוצאת אוניברסיטת אוקספורד, 1972) עמ’ 167–68.
[7] גוטפריד וילהלם (פון) לייבניץ (1646–1716) היה מתמטיקאי, פילוסוף ומדען גרמני. הוא דמות חשובה מאוד הן בהיסטוריה של הפילוסופיה והן בהיסטוריה של המתמטיקה והפיזיקה.
[8] ר. פ. פיינמן, ר. ב. לייטון, ומ. סנדס, הרצאות פיינמן בפיזיקה, כרך II. מכון הטכנולוגיה של קליפורניה, 1964, פרק 26, “עקרון הזמן המינימלי.”
[9] ריצ’רד פיינמן, הרצאות פיינמן, הרצאה 26, אופטיקה: עקרון הזמן המינימלי. (ראה באינטרנט, https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_26.html#:~:text=With%20Snell’s%20theory%20we%20can,on%2C%20is%20easy%20to%20understand.)
[10] תלמוד, מס’ עירובין, נג ע”א.
[11] רבי שניאור זלמן מליאדי, (האדמו”ר הזקן), תניא, לקוטי אמרים, עמוד השער.
[12] תלמוד, מס’ תמיד כז ע”ב.
[13] מדרש רבה על בראשית, כ, פרק ג. ראה מאמרי הקודם “על טבע הזמן וגיל היקום,” (2005) (https://quantumtorah.com/on-the-nature-of-time-and-the-age-of-the-universe/).
[14] ראה מאמרי, “מרחב – בין עתיד ועבר,” (13 ביוני, 2019), (https://quantumtorah.com/space-between-future-and-past/)” ו”זמן כשילוב של עבר ועתיד,” (30 ביוני, 2023) (https://quantumtorah.com/time-as-a-combination-of-past-and-future/).
[15] “והחיות רצוא ושוב כמראה הבזק.” (יחזקאל א:יד). ראה מאמרי, “סימפוניה קוסמית,” QuantumTorah.com, 30 באוקטובר, 2019, https://quantumtorah.com/cosmic-symphony/.
[16] יוהאן ברנולי (1667–1748), מתמטיקאי שוויצרי בולט, מורו של לאונרד אוילר. ברנולי תרם תרומה משמעותית לחשבון הדיפרנציאלי.
[17] ברכיסטוכרון ביוונית פירושו “הזמן הקצר ביותר.”
[18] חשבון הווריאציות (או חשבון ווריאציוני) הוא תחום באנליזה מתמטית המשתמש בווריאציות, שהן שינויים קטנים בפונקציות ובפונקציונלים, כדי למצוא מקסימומים ומינימומים של פונקציונלים: מיפויים מקבוצת פונקציות למספרים הממשיים. בעוד שחשבון דיפרנציאלי יסודי עוסק בשינויים קטנים אינסופית בערכי פונקציות ללא שינויים בפונקציה עצמה, חשבון הווריאציות עוסק בשינויים קטנים אינסופית בפונקציה עצמה, הנקראים ווריאציות (ריצ’רד קוראנט ודוד הילברט, שיטות הפיזיקה המתמטית. (ניו יורק: הוצאת Interscience Publishers, Inc. 1953), כרך I, עמ’ 184.
[19] פייר-לואי מורו דה מופרטואי, מסה על קוסמולוגיה, 1750.
[20] ליאונרד אוילר (1707–1783), מתמטיקאי, לוגיקן, פיזיקאי, אסטרונום ומהנדס שוויצרי. הוא נחשב לאחד מגדולי המתמטיקאים בכל הזמנים. הוא ייסד את תורת הגרפים והטופולוגיה. הוא תרם תרומות עמוקות לתחומים רבים במתמטיקה ובפיזיקה, כולל תורת המספרים, אנליזה מרוכבת, חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, מכניקה, דינמיקת זורמים, אופטיקה ואסטרונומיה. כמו כן תרם לתורת המוזיקה.
[21] ליאונרד אוילר, Methodus Inveniendi Lineas Curvas Maximi Minimive Proprietate Gaudentes, Lausannae & Genevae: Bousquet & Socios. 1744, מהדורה ראשונה, סעיף 1, תרגום: איבור גרטן-גינס.
[22] ז’וזף-לואי לגרנז’ (בשמו המקורי ג’וזפה לואיג’י לגרנג’יה, 1736–1813) היה מתמטיקאי, פיזיקאי ואסטרונום איטלקי בולט, שמאוחר יותר בחייו הפך לאזרח צרפתי. הוא תרם תרומות חשובות לתחומי האנליזה, תורת המספרים, מכניקה קלאסית ומכניקה שמימית.
[23] לדוגמה, ספר יצירה מחלק את העולם לשלושה תחומים— עולם (“עולם,” כלומר מרחב), שנה (“שנה,” כלומר זמן), ונפש (“נפש,” כלומר, רוחניות). (ראה ספר יצירה (ספר היצירה), ו:ד. לתרגום אנגלי, ראה אריה קפלן, ספר יצירה: ספר הבריאה. Weiser Books, 1997.)
[24] הרמב״ם, משנה תורה, הלכות דעות, פרק א, הלכה ד.
[25] ספרי סוף עקב.
