המחזה של היקום נעשה כל כך הרבה יותר גדול, כל כך הרבה יותר יפה, ראוי יותר ליוצרו, כאשר ידוע שמספר קטן של חוקים, שנקבעו בחוכמה רבה, מספיקים לכל התנועות.פייר לואי מופרטוי (1744)
בין החוקים הכלליים פחות או יותר, שגילויים מאפיין את התפתחות המדע הפיזי במהלך המאה האחרונה, עיקרון הפעולה המינימלית הוא בהחלט כעת אחד מהם, שבצורתו וברחבותו, ניתן לומר שהתקרב ביותר למטרה האידיאלית של החקירה התיאורטית. המשמעות שלו, כפי שהיא מובנת כראוי, מתרחבת לא רק לתהליכים מכניים, אלא גם לבעיות תרמיות ואלקטרודינמיות. בכל ענפי המדע שאליהם הוא חל, הוא נותן לא רק הסבר למאפיינים מסוימים של תופעות שנתקלים בהן כיום, אלא מספק כללים שבאמצעותם ניתן לקבוע לחלוטין את השינויים שלהן בזמן ובמקום. הוא מספק תשובות לכל השאלות הנוגעות להן, בתנאי שהקבועים הדרושים ידועים והתנאים החיצוניים הבסיסיים נבחרים כראוי.מקס פלנק (1909)
תוכן העניינים
ב. מבוא לעקרון הפעולה המינימלית
IV. ניסוח מודרני <— אתה נמצא כאן
II. מבוא לעקרון הפעולה המינימלית
IV. ניסוח מודרני <— אתה נמצא כאן
VI. המקור הרוחני של עקרון הפעולה המינימלית
זהו הפרק הרביעי בסדרה על עיקרון הפעולה המינימלית. בפרק הראשון, “עיקרון הפעולה המינימלית I,” הכרנו את הטלאולוגיה. למדנו שטלאולוגיה היא סיבה או הסבר למשהו המשרת כפונקציה של מטרתו, בניגוד למשהו המשרת כפונקציה של הסיבה שלו. מאמינים שלדברים יש מטרה, יעד או סוף שאליו הם שואפים. המטרה הסופית נקראת הסיבה הסופית (causa finalis). למדנו גם שהיהדות היא ללא ספק טלאולוגית עד היסוד ושהאמונה היהודית מבוססת על האמונה באל בעל מטרה, שברא עולם בעל מטרה. בפרק השני, הכרנו את עיקרון הפעולה המינימלית. למדנו שעיקרון הפעולה המינימלית הוא ייצוג פורמלי של רעיונות פשוטים כמו יעילות ואופטימיזציה. הטבע שואף לחקות את בוראו בצורה הטובה ביותר שהוא יכול. לכן, היעילות של הטבע היא ביטוי השלמות של הבורא האינסופי במסגרת הסופית של העולם הפיזי. בפרק השלישי, סקרנו את ההיסטוריה של פיתוח עיקרון הפעולה המינימלית. פגשנו את הרון, שהיה הראשון להציג את הרעיון של המרחק הקצר ביותר; פייר דה פרמה וגוטפריד לייבניץ, שהציעו את “עיקרון הזמן המינימלי”; יוהאן ברנולי, שניסח את העיקרון הוריאציוני; פייר־לואי דה מופרטוי, שהציג את עיקרון הפעולה המינימלית; ליאונהרד אוילר ויוזף־לואי לגרנז׳, שגזרו את משוואות התנועה של אוילר־לגרנז׳. ראינו כיצד לכל אחד מהניסוחים הללו היו גוונים טלאולוגיים חזקים והקבלות תיאולוגיות. בפרק זה, נלמד על הצורה המודרנית של המכניקה הלגרנז׳יאנית המבוססת על עיקרון הפעולה המינימלית.
1. מכניקה לגרנז׳יאנית
הניסוח הלגרנז׳יאני של המכניקה הקלאסית הוא ניסוח מחדש של מכניקת ניוטון ומספק מסגרת מאוחדת לחקר התנועה של מערכות. במכניקת ניוטון, כדי לחזות את ההתפתחות של חלקיק, עלינו לדעת את התנאים ההתחלתיים שלו—המיקום הראשוני והמהירות הראשונית שלו—וכל הכוחות הפועלים על החלקיק. בניסוחים המשתמשים בעיקרון הפעולה המינימלית, אין אנו נדרשים לדעת את המהירות הראשונית או את הכוחות הפועלים על החלקיק. כל מה שאנחנו צריכים לדעת הוא המיקומים הראשוני והסופי של החלקיק והאנרגיה שלו.
לב הניסוח הזה הוא לגרנז׳יאן, L, שמוגדר כהפרש בין האנרגיה הקינטית של המערכת (אנרגיית התנועה) והאנרגיה הפוטנציאלית שלה (אנרגיה עקב מיקום). מתמטית:
L = T – V,
כאשר T הוא האנרגיה הקינטית, ו־V הוא האנרגיה הפוטנציאלית.
במקום להשתמש בקואורדינטות קרטזיות מסורתיות כמו x, y, ו־z, הניסוח הלגרנז׳יאני משתמש לעתים קרובות ב”קואורדינטות מוכללות,” המסומנות q. אלה יכולים להיות זוויות, אורכים, או פרמטרים נוחים אחרים המתארים את המערכת.
כפי שהוזכר קודם, הרעיון העיקרי של עיקרון הפעולה המינימלית הוא שהטבע “מעדיף” נתיבי תנועה שממזערים (או, ליתר דיוק, מקצינים) כמות מסוימת הנקראת “הפעולה”. הפעולה היא האינטגרל (תחשבו על זה כסכימה) של הלגרנז׳יאן לאורך זמן. במונחים יותר פשוטים, זה אומר שמתוך כל הדרכים האפשריות שמשהו יכול לזוז, הוא יבחר בנתיב ש”עולה” הכי פחות במונחים של הפעולה הזו.
משוואת אוילר־לגרנז׳ היא הניסוח המתמטי הנובע מעיקרון הפעולה המינימלית. זוהי משוואה דיפרנציאלית הקובעת כיצד מערכת מתפתחת לאורך זמן. על ידי פתרון משוואה זו, ניתן לחזות את ההתפתחות של מערכת.[1] בעוד שעיקרון הפעולה המינימלית הוא עיקרון אינטגרלי (שבו הפעולה—האינטגרל של הלגרנז׳יאן לאורך זמן—מקוצן) שיש לו גוונים טלאולוגיים חזקים, משוואות התנועה של אוילר־לגרנז׳ הן משוואות דיפרנציאליות שאין בהן רמז של טלאולוגיה. בדיוק כמו מכניקת ניוטון, משוואות אוילר־לגרנז׳ מתארות את התנועה באמצעות סיבתיות יעילה—כל מצב נקבע על ידי המצב מיד לפניו. שתי הגישות האלה—אינטגרלית ודיפרנציאלית—למרות שכל אחת נושאת מטען מטפיזי שונה מאוד—הן מקבילות מתמטית זו לזו.
הניסוח הלגרנז׳יאני של המכניקה הקלאסית מספק דרך מאוחדת, אלגנטית ולעתים קרובות פשוטה יותר לחקר הדינמיקה של מערכות. במקום להתמודד ישירות עם כוחות, הוא עובד עם פונקציות אנרגיה ועם הרעיון שמערכות מתפתחות בדרך שממזערת את הפעולה.
אולם הניסוח הלגרנז׳יאני נושא גוונים טלאולוגיים חזקים. במכניקת ניוטון, אנחנו יודעים רק את התנאים ההתחלתיים של החלקיק—המיקום והמהירות הראשוניים שלו. אנחנו גם צריכים לדעת את כל הכוחות הפועלים על החלקיק כדי לחזות את התפתחותו בזמן. המכניקה הלגרנז׳יאנית מוותרת על כוחות. אולם היא דורשת ידיעה לא רק של המיקום הראשוני של החלקיק אלא גם המיקום הסופי שלו. השאלה היא, איך החלקיק יודע את המיקום הסופי שלו כדי להבין איך לזוז? ההסתמכות על הסיבה הסופית היא תכונה אופיינית של הטלאולוגיה.
הטבע הטלאולוגי של עיקרון הפעולה המינימלית נתון לוויכוח חם של פילוסופים מודרניים בעיקר על בסיס העובדה שמשוואות אוילר־לגרנז׳, שמקבילות לעיקרון הפעולה המינימלית בצורתו הוריאציונית, מוותרות על הסיבה הסופית (המיקום הסופי של החלקיק) ומחליפות אותה בסיבתיות יעילה בדיוק כמו במכניקת ניוטון. אבל משוואות אוילר־לגרנז׳ נגזרות מעיקרון הפעולה המינימלית. אז, גם אם הן אינן מכילות באופן מפורש מידע על המיקום הסופי של החלקיק, הוא משתמע כי הוא נמצא בעיקרון הוריאציוני שממנו נגזרות משוואות אוילר־לגרנז׳. יש פילוסופים הטוענים שחץ ההסבר הולך לשני הכיוונים, וזה עניין של בחירה אישית, תלוי בהתחייבויות המטפיזיות של האדם, איך להסתכל על זה.
אני מסכים, למרות כל האלגנטיות שבו, עיקרון הפעולה המינימלית אינו מוכיח את קיומו של בורא אינטליגנטי. במובן מסוים, כשמדובר בחומר דומם, יד ה׳ מוסתרת, ומשמרת את חופש הבחירה שלנו—להאמין או לא להאמין. אולם כשמדובר בחומר חי, שבניגוד לחומר הדומם הפסיבי, פועל באופן אקטיבי למימוש מטרות של הישרדות ורבייה, ומפר (באופן מקומי) את החוק השני של התרמודינמיקה, אין יותר ברירה. ההכרה בבורא אינטליגנטי, הנותן לחומר החי מטרות שעליו לפעול למימושן, כבר אינה עניין של התחייבויות מטפיזיות, אלא עניין של יושרה אינטלקטואלית. אך זהו נושא אחר, המצריך דיון נפרד.
לעת עתה, די לומר שפיזיקאים גדולים רבים, שהיו מודעים לחלוטין לשקילות המתמטית בין עקרון הווריאציה של הפעולה המינימלית למשוואות אוילר-לגראנז’, שמרו בכל זאת על האופי הטלאולוגי של הראשון. סבו של הפיזיקה הקוונטית, מקס פלאנק, אמר זאת על עקרון הפעולה המינימלית:
עקרון הפעולה המינימלית מכניס רעיון חדש לחלוטין למושג הסיבתיות: הcausa efficiens, הפועל מההווה אל העתיד וגורם למצבים עתידיים להיראות כנקבעים על ידי מצבים קודמים, מצטרף אליו הcausa finalis, שעבורו, להיפך, העתיד—כלומר, מטרה מוגדרת—משמש כהנחת יסוד שממנה ניתן להסיק את התפתחות התהליכים המובילים למטרה זו.[2]
פלאנק לא רק שמר על המשמעות הטלאולוגית של עקרון הפעולה המינימלית, אלא חשף את ההטיה המדעית והפילוסופית המונעת מהוגים אחרים להכיר באמת הברורה הזו:
הניסוח המתאים ביותר של חוק זה יוצר רושם בכל מוח חסר פניות שהטבע נשלט על ידי רצון רציונלי ומכוון.[3]
התנגדות נוספת שהועלתה נגד הפרשנות הטלאולוגית של עקרון הפעולה המינימלית קשורה לניסוח האינטגרל המסלולי של פיינמן למכניקת הקוונטים.
אבל מה אנו עושים עם הכמות המוזרה הזו, הלגראנז’יאן, המוגדר כהפרש בין אנרגיה קינטית ואנרגיה פוטנציאלית? בפיזיקה, אנו רגילים לראות את הסכום של שתי צורות האנרגיה הללו, המרכיבות את האנרגיה הכוללת של המערכת, אך לא את ההפרש. נראה מאוחר יותר כיצד המיסטיקה היהודית שופכת אור על חידה זו.
הערות שוליים:
[1] כדי להבין את המשמעות האמיתית של הגישה הלגראנז’יאנית, דמיינו שאתם חוקרים את תנועת מטוטלת. בניסוח של ניוטון, הייתם מתמודדים ישירות עם כוחות, מה שיכול להיות די מסובך אם המטוטלת, נניח, מתנדנדת בשני ממדים או אם יש אילוץ על תנועתה. עם הגישה הלגראנז’יאנית, הייתם משתמשים בזווית כקואורדינטה מוכללת ומפתחים משוואה המבוססת על אנרגיות. זה יכול להיות הרבה יותר פשוט ואינטואיטיבי במקרים רבים.
[2] Max Planck, Scientific Autobiography and Other Papers, (New York, Philosophical library, 1949), [1937], 179-80, ראו גם Yemima Ben-Menahem, Causation in science, (Princeton University Press, 2018), p. 150.
[3] שם, עמ’ 177.
