כי תצור אל עיר ימים רבים להילחם עליה לתפשה לא תשחית את עצה לנדוח עליו גרזן כי ממנו תאכל ואותו לא תכרות כי האדם עץ השדה לבוא מפניך במצור (דברים כ:יט)
בט״ו בשבט אנו חוגגים את ראש השנה לאילנות. יש הרבה מה לומר על המשמעות ההלכתית, האקולוגית, הדרשנית והמיסטית של יום זה. ואכן, נכתב רבות על חג קטן זה מנקודות מבט אלה. בפוסט זה, עם זאת, ברצוני להתמקד בהיבטים המתמטיים והביולוגיים של חג זה שלמיטב ידיעתי לא נדונו עד כה.
כאשר התורה שואלת בצורה רטורית, “כי האדם עץ השדה?”, חז”ל מפרשים פסוק זה לומר, “האדם דומה לעץ השדה”. מהו הקשר בין העץ לאדם?
לעצים יש ענפים. ולענפים אלה יש ענפים קטנים יותר. ולענפים הקטנים יש ענפים קטנים עוד יותר. כל ענף, ללא קשר לגודלו, נראה כמו העץ כולו. תכונה זו נקראת דמיון עצמי בקני מידה שונים והיא ההגדרה של גיאומטריה פרקטלית. פרקטלים הם צורות מתמטיות שדומות לעצמן בכל קני המידה. (ראו את הפוסט הקודם שלי, דפוסים פרקטליים בזמן.) עץ הוא דוגמה קלאסית לצורה פרקטלית. למעשה, קיים פרקטל שנקרא חופת פרקטל:
פתית שלג הוא דוגמה אייקונית נוספת.
הגיאומטריה הפרקטלית פותחה על ידי המתמטיקאי היהודי-אמריקאי, בנואה מנדלברוט, בשנת 1975. הוא הבין שקו החוף, ההרים ורוב הטבע מכילים צורות פרקטליות.
פרקטלים חשובים מאוד לא רק מכיוון שהם מתארים את הגיאומטריה של הטבע, אלא גם בגלל תכונותיהם הייחודיות. למשל, אנטנה בעלת צורה פרקטלית קולטת את הספקטרום הרחב ביותר של תדרים אלקטרומגנטיים. השתמשתי בגיאומטריה פרקטלית לתכנון גוף קירור שבו אלמנטי החלפת החום מסתעפים בצורה פרקטלית, ובכך מגדילים את יעילות החלפת החום:
קיבלתי מספר פטנטים על תכנון גוף הקירור הפרקטלי.
אם עץ הוא סמל לגיאומטריה פרקטלית, מדוע הוא מושווה לאדם?
הביטו במבנה של כלי הדם:
זה בבירור פרקטלי! כך גם מבנה נימי הלימפה:
מערכת העצבים שלנו היא פרקטלית גם כן:
הריאות מציגות גיאומטריה פרקטלית ברורה:
מטריצת העצם יש לה גם מבנה פרקטלי. ניתן לומר בבטחה שלכל איבר, כל רקמה בגוף יש היבט פרקטלי כלשהו.
מורפולוגיית איברים – מדוע לכל איבר ולכל מין יש צורה וגודל מסוימים – היא אחת התעלומות הגדולות בביולוגיה. אני משער שזה קשור לגיאומטריה פרקטלית – אלגוריתמים פרקטליים שונים, המגדירים את ההתמיינות של תאי גזע לרקמה מסוימת, מתחרים על משאבים מוגבלים. יחסי הגומלין ביניהם עשויים לקבוע את הצורה והגודל של איבר מסוים (או המין כולו). בעוד שההשערה שלי עדיין נותרה להוכחה, תפקיד הפרקטלים בגיאומטריה אינו ניתן לערעור.
ברמה המיסטית, גוף האדם הוא התגלמות של עשר ספירות – עשר האצלות אלוהיות.
בעולם התיקון (שבו אנו חיים, על פי הקבלה הלוריאנית) כל אחת מהספירות כוללת את כל עשר הספירות בתוכה, וכן הלאה, עד אין סוף. לספירות בעולם התיקון יש מבנה פרקטלי. אולי זו הסיבה שעשר הספירות נקראות עץ הספירות.
אינני הראשון שהבחין בקשר הפרקטלי בט”ו בשבט. זמן רב לפני שהמילה “פרקטל” נטבעה על ידי מנדלברוט, מקובל ידוע, הרב לוי יצחק שניאורסון (אביו של הרבי מליובאוויטש, הרב מנחם מנדל שניאורסון), כתב על הקשר הבא. במשנה, ט”ו בשבט נקרא ראש השנה לאילנות. (אילן בעברית הוא “עץ”). ט”ו בשבט תמיד חל בחודש העברי שבט. (יש מחלוקת בין חכמי המשנה, האם ראש השנה לאילנות חל ביום הראשון או ב-15״ לחודש, אך כולם מסכימים שהוא תמיד חל בחודש שבט.) הרב לוי יצחק הצביע על כך שהערך המספרי (גימטריה) של המילה “עץ” – אילן – זהה לערך המספרי של שם החודש – שבט. אולם, אם תספרו, תופתעו – הערך המספרי של שבט הוא 311 (300+2+9), בעוד שהערך המספרי של אילן הוא רק 91! מה קורה כאן? הסוד טמון בעובדה שהאלף-בית העברי הוא פרקטלי גם כן. לכל אות, מלבד ערכה המספרי וצלילה, יש שם, שניתן לאיית באותיות שלכל אחת מהן יש ערך מספרי משלה. סכום כל המספרים האלה נותן את הערך המספרי המלא, הנקרא מילוי (“מלא” בעברית). הבה נחשב את הערך המספרי המלא של המילה אילן – עץ:
| אות | שם | גימטריה |
| א | אלף | 111 |
| י | יוד | 20 |
| ל | למד | 74 |
| ן | נון | 106 |
מסתבר שהערך המלא—הפרקטלי—של המילה אילן הוא אכן 311 (111+20+74+106), בדיוק כמו הערך המספרי של שבט! (ראו תובנות מיסטיות לראש השנה לאילנות).
עכשיו אנו רואים איך כל חלקי הפאזל מתחברים יחד. ראש השנה לאילנות (אילן) מחובר באופן פרקטלי עם חודש שבט. התורה משווה אדם לעץ בשדה ברמזה למבנה הפרקטלי שלו, החיוני לביולוגיה. ומתחת לכל זה נמצא המבנה הפרקטלי של עשר ההאצלות האלוהיות – ספירות הכלולות זו בזו היוצרות את עץ הספירות – עץ החיים.
חג ט”ו בשבט שמח!
