מאת אלכסנדר פולטורק

“אלוקים הוא מתמטיקאי”
קרל פרידריך גאוס

א. האם נוכל להוכיח שאלוקים ברא את האקסיומות של המתמטיקה?

1. מבוא

קורא אתגר אותי בשאלה, “האם תוכל להוכיח שאלוקים ברא את הטענות הבסיסיות (אקסיומות) של המתמטיקה?” זוהי שאלה עמוקה הראויה לתשובה מפורטת יותר.

אין “הוכחה” מקובלת באופן אוניברסלי במובן המתמטי לכך שאלוקים הוא מחבר האקסיומות (או “הטענות הבסיסיות”) של המתמטיקה. השאלה האם אלוקים הוא היסוד – כלומר, הבסיס המטאפיזי – או המקור של אמיתות מתמטיות היא ויכוח פילוסופי ותיאולוגי ארוך שנים. להלן מספר נקודות מבט על סוגיה זו, יחד עם הסיבות מדוע לא קיימת הוכחה פורמלית המוסכמת באופן אוניברסלי.

2. כיצד תיראה “הוכחה” בכלל?

א. טבעה של הוכחה מתמטית

במתמטיקה, הוכחות מדגימות שמסקנה נובעת באופן לוגי מקבוצה של אקסיומות. האקסיומות עצמן נחשבות לאמיתיות ללא הוכחה. לדוגמה, ביסודות של אוקלידס (בערך 300 לפנה”ס), אוקלידס בונה משפטים גיאומטריים מחמשת ההנחות (אקסיומות) המפורסמות שלו. עם זאת, יסודות פשוט מניח (כלומר, מקבל) שאקסיומות אלו נכונות ומובנות מאליהן, במקום להוכיח אותן באיזשהו אופן. (אוקלידס, 1908/ עבודה מקורית בערך 300 לפנה”ס) בעוד שאקסיומות כבר לא נדרשות להיות מובנות מאליהן, אקסיומות תמיד נלקחות בהכרח (כלומר, מונחות) כנכונות על פניהן. כל המפעל של מתמטיקה אקסיומטית מתנהל בצורה הבאה: בהנחה שהנחות א, ב, …, ו-ג (אקסיומות) נכונות, אילו משפטים ניתן לגזור מהן באופן לוגי?

עם זאת, אם מטרתנו היא להראות ש”אלוקים הוא המקור לאקסיומות אלו”, זו כבר אינה טענה מתמטית. היא הופכת לטענה מטאפיזית או תיאולוגית. מערכות מתמטיות, מעצם תכנונן, אינן מנסות להוכיח או להפריך אקסיומות או להוכיח את קיומו או פעולותיו של ישות אלוקית, שזה תחום התיאולוגיה.

ב. מסגרת פילוסופית לעומת תיאולוגית

הוכחת אלוקים כמקור האמיתות המתמטיות דוחפת את השאלה מ”מהן האקסיומות שלנו?” ל”מדוע אקסיומות אלו צריכות להתקיים בכלל, ומהיכן הן נובעות?” (קאנט, 1787)

יש לאמץ הנחות יסוד פילוסופיות או תיאולוגיות ספציפיות כדי לדבר על “הוכחה” שאלוקים ברא אקסיומות. למסורות פילוסופיות שונות (תיאיסטיות, אתיאיסטיות, דאיסטיות וכו’) יש הנחות יסוד שונות. כל “הוכחה” מסתמכת על הנחות שעשויות לא להיות מקובלות על כולם.

3. קווי טיעון מסורתיים

למרות היעדרה של הוכחה פורמלית, ישנם טיעונים קלאסיים – חלקם שאובים מהתיאולוגיה, חלקם מפילוסופיה של המתמטיקה – המנסים לקשר בין אלוקים לבין קיומן של אמיתות מתמטיות.

א. השקפות אפלטוניות או ריאליסטיות

אפלטוניזם מתמטי

אפלטון טען שאובייקטים מתמטיים (כמו מספרים וצורות) קיימים בממלכה נצחית ובלתי משתנה של “צורות”. (אפלטון, 1925/ המאה ה-4 לפנה”ס)

פילוסופים של המתמטיקה הביעו דעות על טבעם של אובייקטים מתמטיים שנופלות לארבע קטגוריות: (א) אפלטוניסטים, המאמינים שאובייקטים מתמטיים קיימים מחוץ למגבלות מרחב-זמן ואינם מקיימים אינטראקציה סיבתית עם חומר פיזי; (ב) פיזיקליסטים, המאמינים שמספר הוא קטגוריה כללית המתארת את הספירה של אובייקטים פיזיים דומים; (ג) מנטליסטים, המאמינים שמספרים ואובייקטים מתמטיים אחרים קיימים רק בדמיוננו; ו-(ד) אנטי-ריאליסטים, המאמינים שאובייקטים מתמטיים אינם קיימים. מבין גישות אלו, שלוש האחרונות מבוקרות לעתים קרובות כבלתי קוהרנטיות, מה שמותיר את האפלטוניזם כאפשרות היחידה הישימה.

חלק מהמתמטיקאים והפילוסופים טענו שאובייקטים ואמיתות מתמטיות קיימים באופן בלתי תלוי בתודעה האנושית בממד מופשט. (גדל, 1947), (פנרוז, 2004)

חלק מהתיאולוגים טוענים שאם ישויות נצחיות אלו קיימות, אלוקים עשוי להיות אחראי לקיומו של אותו ממד. (פלנטינגה, 1982)

אלוקים כ”תודעה האלוקית”

לפי השקפה זו, אמיתות מתמטיות קיימות לנצח בתודעתו של אלוקים. (אוגוסטינוס מהיפו, 395 לספירה/1993) העקביות והנצחיות של המתמטיקה משקפות את טבעו הבלתי משתנה של מקורה האלוקי.

ב. אפולוגטיקה פרסופוזיציונלית

אלוקים כיסוד הלוגיקה והתבונה:

קורנליוס ון טיל טען שחוקי הלוגיקה והחשיבה הרציונלית מניחים מראש השקפת עולם תיאיסטית. (ון טיל, 1955) אחרים, כמו גרג ל. באנסן, הרחיבו טיעון זה למתמטיקה, ורמזו שללא אלוקים כבסיס האולטימטיבי, העקביות של הלוגיקה והמתמטיקה חסרה בסיס טרנסצנדנטלי. (באנסן, 1998)

כאן, הטיעון הוא שלוגיקה, תבונה ומתמטיקה מניחות את הסדר והרציונליות של היקום, שנאמר כי הם נתמכים על ידי אופיו הרציונלי של אלוקים. ללא אלוקים – כך טוען הטיעון הזה – האקסיומות מאבדות את הבסיס הטרנסצנדנטלי שלהן.

חשוב לציין שבמסורת התיאולוגית היהודית, איננו טוענים לרציונליות של אלוקים, שנחשב כמי שמתעלה מעל הרציונליות. כמובן, אלוקים הוא הסיבה האולטימטיבית לסדר ולרציונליות בעולמנו. עם זאת, כישות בלתי מוגבלת, הוא אינו יכול להיות מוגבל בשום צורה. איננו יכולים לכלוא את אלוקים בחליפת כפייה של רציונליות. זה מבוטא באמרה נמנע הנמנעות (מילולית “מגביל [את כל] ההגבלות”). (רשב”א, 1997/ עבודה מקורית 1470), (מהר”ל, 1582), (צמח צדק, 1912) מהותו של אלוקים אינה ידועה לנו כלל ומתעלה מעל כל מושגי האנושות של רציונליות ולוגיקה.

ג. טיעונים קוסמולוגיים או מעיצוב

“היעילות הבלתי סבירה של המתמטיקה”

הפיזיקאי יוג’ין ויגנר ציין באופן מפורסם שהמתמטיקה “יעילה באופן בלתי סביר” בתיאור המציאות הפיזית. (ויגנר, 1960) כמה תיאיסטים טוענים שהעיצוב היצירתי של אלוהים מסביר מדוע מבנים מתמטיים מתאימים כל כך טוב ליקום הפיזי. (פולקינגהורן, 1991), (דמבסקי, 1999)

אלגנטיות מתמטית וחוקי הטבע

עבור חלקם, האלגנטיות של משוואות יסוד בפיזיקה ובמדעים אחרים מרמזת שמחבר אלוהי עומד מאחורי חוקי הטבע והמתמטיקה המתארת את אותם חוקים.

ד. אינטואיציה רציונלית וצלם אלוהים

זווית אחרת טוענת שבני אדם יכולים לתפוס אמיתות הכרחיות, כולל אקסיומות מתמטיות, מכיוון שבני אדם נבראו בצלם אלוהים, צלם אלוהים (בראשית א:כו-כז).

יכולתנו “לראות” שהצעות מסוימות (כמו 1+1=2) חייבות להיות נכונות עשויה לשקף ניצוץ או חותם אלוהי.

4. אתגרים לטיעונים אלה

א. הסברים חלופיים

נטורליסט או אתיאיסט יכול לטעון שמתמטיקה נובעת מאינטואיציות אנושיות בסיסיות (למשל, לגבי כמות, לוגיקה, דפוסים), שהתפתחו מכיוון שהן העניקו יתרונות הישרדות או משקפות מבנים עקביים שאנו צופים בטבע. לכן, מיל טען שהמתמטיקה היא בסופו של דבר אמפירית ומבוססת על חשיבה אינדוקטיבית מניסיון. (מיל, 1843) על פי חשבון זה, אין צורך במקור אלוהי.

לטיעון זה יש פגם קטלני—חוסר היכולת לחבר תיאוריות או מושגים מתמטיים מסוימים עם העולם הפיזי. למשל, מתמטיקה כוללת לעתים קרובות את המושג של אינסוף. יש מספר אינסופי של מספרים טבעיים. יש לנו קבוצות עם מספר אינסופי של אלמנטים וכו’. עם זאת, אין אובייקט אינסופי באמת ביקום הפיזי. יתרה מכך, גיאורג קנטור הראה שיש סוגים רבים ושונים של אינסוף, אחד גדול מהאחר, ומספר אינסופי מהם, מה שמודגם דרך המושג של קרדינליות. איננו יכולים אפילו להעלות על הדעת את האינסופים השונים הללו בעולם הפיזי. (הילברט, 1925/1983) מסיבה זו, הטיעון הנטורליסטי נכשל.

ב. ריבוי מערכות אקסיומטיות

אין קבוצה מונוליתית יחידה של אקסיומות לכל המתמטיקה; מתמטיקאים חוקרים לעתים קרובות מערכות אקסיומות חלופיות (למשל, גיאומטריה לא-אוקלידית, לוגיקות שונות, תיאוריות קבוצות). (לובצ’בסקי, 1829-1830), איזו מהמערכות הללו תהיה “אלה שאלוהים ברא” אם אלוהים היה מאחוריהן? הגיוון של מסגרות תקפות מתמטית יכול להעלות שאלות לגבי המושג של אלוהים כמעצב יחיד של קבוצת אקסיומות ייחודית.

התנגדות זו נאיבית, בלשון המעטה. ראשית, גיאומטריות חלופיות רבות מוצאות מימוש בעולם הפיזי. כך, גיאומטריית לובצ’בסקי היא מקרה מיוחד של גיאומטריה רימנית המשמשת בתורת היחסות הכללית לתיאור כבידה. שנית, אלוהים שוקל את כל העולמות האפשריים. העובדה שאנו מתגוררים באחד מהם אינה מרמזת על הגבלה כלשהי על כוח הבריאה של אלוהים, שיכול לחשוב על כל תיאוריה מתמטית, כולל תיאוריות המבוססות על אקסיומות סותרות הדדית.

ג. משחקי שפה

ב”הערות על יסודות המתמטיקה”, ויטגנשטיין מאתגר השקפות מסורתיות על ודאות ואובייקטיביות מתמטית. הטיעון שלו ניתן לסיכום כדלקמן. מתמטיקה אינה עוסקת בגילוי אמיתות קיימות מראש אלא היא אוסף של משחקי שפה מגוונים עם כללים שנקבעו על ידי פרקטיקות אנושיות. הכרחיות מתמטית אינה מטפיזית אלא דקדוקית – הצעות מתמטיות מתפקדות ככללים לשימוש בשפה במקום תיאורים של המציאות. הוכחה מתמטית אינה מגלה אמיתות אלא מייצרת טכניקות ומושגים חדשים המרחיבים את הפרקטיקות המתמטיות שלנו. הוודאות של המתמטיקה מבוססת על הסכמה באופן שבו אנו עוקבים אחר כללים בתוך קהילות שפה, לא על התכתבות לאובייקטים מופשטים. הבנה מתמטית מודגמת על ידי ידיעה כיצד להשתמש במושגים מתמטיים בהקשרים שונים, לא על ידי תפיסת ישויות מופשטות. העבודה מתנגדת לפלטוניזם ומציעה שמתמטיקה היא יצירה אנושית המוטמעת בצורות חיים במקום גילוי של אמיתות טרנסצנדנטיות. (ויטגנשטיין, 1956/1978)

ניתן לטעון, עם זאת, שויטגנשטיין מתעלם לחלוטין מה”יעילות הבלתי סבירה” של המתמטיקה, ומצמצם אותה למשחקי שפה.

ד. משפטי אי השלמות של גדל

משפטי גדל מראים שבתוך מערכות אקסיומטיות חזקות מספיק, ישנן הצהרות נכונות שלא ניתן להוכיח מאותן אקסיומות. (גדל, על הצהרות בלתי ניתנות להכרעה פורמלית של פרינקיפיה מתמטיקה ומערכות קשורות I, 1931) זה מדגיש את המגבלות של כל מסגרת אקסיומטית בלכידת כל אמת מתמטית. האם רואים בזה עקבי עם מסתורין אלוהי או רק תכונה מתמטית מובנית תלוי בעמדה הפילוסופית של האדם.

עם זאת, אם בכלל, משפטי גדל רומזים על העובדה שיש אמת גבוהה יותר ממה שנתפס על ידי דדוקציה פורמלית. קיומן של הצהרות נכונות שלא ניתן להוכיח מאקסיומות התיאוריה עשוי להצביע על מקור ושופט אולטימטיבי של האמת, כלומר, אלוהים. לא פלא שגדל עצמו היה מאמין ותרם לתיאולוגיה על ידי פורמליזציה של הגרסה של לייבניץ לטיעון האונטולוגי.

5. מדוע הוכחה סופית ואוניברסלית אינה סבירה

הבדל בהנחות המוצא

אם מתחילים מההנחה שאלוקים קיים והוא מקור כל האמת, אז טבעי לפרש את האמת המתמטית כזרימה של ההיגיון האלוקי. אם, לעומת זאת, מתחילים ללא הנחה כזו, אז המתמטיקה פשוט “קיימת”. עם זאת, מה שאותו “קיים” באמת אומר, איננו יודעים. המתמטיקה “קיימת” בעולם מופשט – גן עדן אפלטוני – החורג מזמן, מרחב וסיבתיות. אין אנלוגיה פיזית לקיום כזה. לכל הפחות, המתמטיקה מציגה אתגר רציני לתפיסה פיזיקליסטית של העולם.

גבולות קטגוריה

להוכחות במתמטיקה יש הגדרה מדויקת המבוססת על הסקה לוגית מאקסיומות. הטענה שישות טרנסצנדנטית קבעה את האקסיומות הללו מעבירה את הדיון לתיאולוגיה ומטאפיזיקה. טענה כזו חורגת מהתחום של מה שניתן להוכיח באמצעות כלי המתמטיקה בלבד.

גורמים רציונליים לעומת לא-רציונליים

שכנוע במסקנה תיאולוגית לעתים קרובות כרוך באמונה או בהתגלות בנוסף לטיעון רציונלי. אפילו פילוסופים ותיאולוגים מבריקים המקבלים את קיומו של אלוקים עושים זאת באמצעות שילוב של הנמקה, מסורת וניסיון אישי – לא רק על ידי הוכחה מתמטית או לוגית כלשהי.

6. מסקנה

לא קיימת ולא יכולה להתקיים, באופן עקרוני, “הוכחה” מוסכמת לכך שאלוקים יצר את האקסיומות של המתמטיקה, מכיוון שעצם טבעה של הטענה הוא מטאפיזי, והוכחות במובן המתמטי הקפדני אינן פועלות בתחום זה. במקום זאת, השקפות עולם שונות מציעות הסברים שונים לכך שהמתמטיקה כה עקבית ואוניברסלית. נקודות מבט תיאיסטיות רואות במתמטיקה זרימה מטבעו של אלוקים או מפעולתו היצירתית; אתיאיסטים רואים בה מסגרת שנבנתה על ידי האדם (אם כי כזו שלוכדת במדויק מבנים אמיתיים ביקום), מבלי להניח מקור אלוקי.

בסופו של דבר, בין אם אתם מפרשים אמיתות מתמטיות כמבוססות על אלוקים, מופשטות לחלוטין, או נובעות מהקוגניציה האנושית, תלוי במחויבויות הפילוסופיות או התיאולוגיות הכוללות שלכם. הפרקטיקה המתמטית עצמה אינה יכולה לפתור שאלה זו, מכיוון שהיא אינה – ואינה יכולה – להגיע מחוץ למסגרת האקסיומטית שלה עצמה כדי להראות מי או מה קבע את האקסיומות הללו מלכתחילה.

ב. טיעון האמיתות ההכרחיות:

עם זאת, השאלה שחקרנו בחלק א’ ניתנת לניסוח מחדש בצורה שהיא מעניינת הרבה יותר. בפילוסופיה, אמיתות מתמטיות נחשבות לאמיתות הכרחיות – לא יכול להיות אחרת. או, בשימוש בלוגיקה מודאלית במסורת של לייבניץ, אנו יכולים לומר שאמיתות הכרחיות הן אמיתיות בכל העולמות האפשריים. שאלה מטאפיזית יסודית היא, מה נותן לאמיתות הכרחיות את ההכרחיות שלהן? הטענה ש”רק אלוקים יכול לבסס אמיתות הכרחיות כאלה” משמעותה שרק ישות הכרחית (אלוקים) יכולה לספק יסוד מטאפיזי הולם לאמיתות שלא יכולות להיות אחרת.

לטיעון שרק אלוקים יכול לבסס אמיתות מתמטיות הכרחיות יש היסטוריה פילוסופית עשירה.

1. טבע ההכרחיות המתמטית

אמיתות מתמטיות נראות הכרחיות ולא מקריות (הן לא יכולות להיות אחרת). חלק מהפילוסופים טוענים שרק אלוקים יכול לבסס אמיתות הכרחיות כאלה.

אמיתות מתמטיות נראות כבעלות סוג ייחודי של הכרחיות. כשאנו אומרים “2+2=4” או “סכום הזוויות הפנימיות של משולש הוא 180 מעלות בגיאומטריה אוקלידית”, הצהרות אלה נראות הכרחיות – הן לא יכולות להיות אחרת. בניגוד לעובדות אמפיריות (כמו “מים רותחים ב-100°C בגובה פני הים”), שתלויות באופן שבו היקום שלנו מתנהג, אמיתות מתמטיות נראות כחורגות מהמציאות הפיזית והיו נשארות נכונות גם בעולמות אפשריים שונים מאוד.

2. האתגר הפילוסופי

הכרחיות זו מציבה אתגר פילוסופי עמוק: מה מבסס או מסביר את האמיתות ההכרחיות הללו? כפי שלייבניץ ניסח ב”שיח על מטאפיזיקה”, אם אמיתות מתמטיות הן נצחיות והכרחיות, חייב להיות להן סוג של יסוד נצחי והכרחי. (1686//1991)

3. פורמליזציה של הטיעון:

הנה גרסה פורמלית של הטיעון:

1. אמיתות מתמטיות הן הכרחיות (הן לא יכולות להיות אחרת)
2. אמיתות הכרחיות דורשות יסוד או בסיס הכרחי
3. ישויות או מערכות מקריות (כולל מוחות אנושיים, מוסכמות חברתיות או מציאות פיזית) אינן יכולות לבסס באופן מספק אמיתות הכרחיות
4. לכן, אמיתות הכרחיות חייבות להיות מבוססות על משהו שיש לו קיום הכרחי בעצמו
5. רק לאלוקים יש את התכונה של קיום הכרחי
6. לכן, ה’ הוא היסוד של האמת המתמטית

אוגוסטינוס פיתח לראשונה גרסה של טיעון זה ב”על הבחירה החופשית”. (395 לספירה/1993) הוא הסיק שאמיתות מתמטיות הן נצחיות ובלתי משתנות, אך הן אינן עצמים פיזיים. מכיוון שהן חורגות ממוחות אנושיים (אנו מגלים אותן ולא ממציאים אותן) ומהמציאות הפיזית, הן חייבות להתקיים בתודעתו של אלוקים.

דקארט קידם קו חשיבה זה ב”מדיטציה החמישית” שלו (1641). (דקארט, 1641/1984) הוא טען שאמיתות מתמטיות הן “אמיתות נצחיות” שאלוקים יצר בחופשיות אך עשה אותן הכרחיות. עבור דקארט, ההכרחיות של המתמטיקה משקפת את אי-השתנותו של אלוקים – אלוקים אינו משנה את דעתו לגבי מה שנכון.

לייבניץ עיבד את הטיעון עוד יותר. בהתכתבותו עם קלארק (1715-1716), הוא טען שאמיתות הכרחיות, כולל אלה המתמטיות, קיימות במה שהוא כינה “הבנתו של אלוקים”. אלוקים מתבונן בכל העולמות האפשריים, ואמיתות הכרחיות הן אלה שתקפות בכל האפשרויות הללו. (1956)

4. הניסוח העכשווי של אלווין פלנטינגה

ב”האם לאלוקים יש טבע?” (1980), פלנטינגה מציג גרסה מתוחכמת של טיעון זה. הוא מציע שעצמים מופשטים כמו מספרים ואמיתות מתמטיות מובנים בצורה הטובה ביותר כמחשבות אלוקיות. כפי שהוא מנסח זאת, “מספרים וקבוצות נתפסים בצורה הטובה ביותר כתכונות של אלוקים”, ספציפית כ”מחשבות או מושגים אלוקיים”. פלנטינגה טוען שאם אמיתות מתמטיות היו בלתי תלויות באלוקים, הן היו מהוות מציאות מחוץ לפעילות היצירתית של אלוקים, מגבילות את הריבונות האלוקית. במקום זאת, הוא מציע שאמיתות הכרחיות אלה מבוססות על טבעו ההכרחי של אלוקים.

השקפה זו פותרת מספר חידות מטאפיזיות:

1. המעמד האונטולוגי של המתמטיקה: אובייקטים מתמטיים קיימים כמחשבות אלוקיות ולא כישויות אפלטוניות מסתוריות או כמוסכמות אנושיות גרידא.
2. ההכרחיות של המתמטיקה: אמיתות מתמטיות הן הכרחיות מכיוון שהן משקפות את טבעו ההכרחי של אלוקים.
3. ידע מתמטי: היכולת שלנו לגלות אמיתות מתמטיות מוסברת בכך שנבראנו בצלם אלוקים, עם מוחות המסוגלים לתפוס מחשבות מתמטיות אלוקיות.
4. היישומיות של המתמטיקה: היעילות של המתמטיקה בתיאור המציאות הפיזית הגיונית אם גם המתמטיקה וגם המציאות הפיזית חולקות את אותו מקור אלוקי.

5. טיעון פורמלי מתוקן

בסעיף 3 לעיל, פירטנו שישה שלבים של הטיעון הפורמלי להוכחת שה’ הוא יסוד האמת המתמטית. אני מוצא את השלב השני – אמיתות הכרחיות דורשות יסוד או בסיס הכרחי – מפוקפק למדי. מדוע אמת הכרחית זקוקה ליסוד או לבסיס? אני מציע צורה אחרת של טיעון זה שנמנעת מהשלב המפוקפק הזה:

1. ה’ הוא ישות אין-סופית בהכרח
2. ה’ הוא ישות הכרחית (הוא קיים בהכרח בכל העולמות האפשריים)
3. אמיתות מתמטיות הן אמיתיות בהכרח (הן קיימות בכל העולמות האפשריים)
4. אם אמיתות מתמטיות היו קיימות מחוץ לה’, זה היה מגביל את נוכחותו המוחלטת של ה’ בכל העולמות האפשריים, מה שהיה סותר את אין-סופיותו של ה’ (הנחה 1)
5. לכן, אמיתות מתמטיות קיימות בהכרח בתוך ה’
6. לכן, ה’ הוא היסוד של האמת המתמטית

1. מסקנה

הטענה ש”רק ה’ יכול לבסס אמיתות הכרחיות כאלה” משמעותה שרק ישות הכרחית (ה’) יכולה לספק יסוד מטאפיזי הולם לאמיתות שלא יכולות להיות אחרת. טיעון זה מציע מספר משמעויות ספציפיות של “ביסוס”:

1. תלות אונטולוגית: אמיתות מתמטיות תלויות בה’ לקיומן. הן קיימות כמחשבות אלוהיות או כהיבטים של טבע ה’, ולא כמציאויות עצמאיות.

• יסוד הסברי: ה’ מסביר מדוע אמיתות מתמטיות הן הכרחיות ולא מקריות. ללא ה’, לא היה הסבר מדוע “2+2=4” חייב להיות אמת בכל העולמות האפשריים.

• מקור ההכרחיות: אמיתות מתמטיות שואבות את הכרחיותן מטבעו ההכרחי של ה’. כשם שה’ אינו יכול שלא להתקיים, כך אמיתות אלה אינן יכולות שלא להיות אמיתיות.

• יסוד סיבתי: בגרסאות מסוימות (במיוחד של דקארט), ה’ גורם לאמיתות מתמטיות להיות הכרחיות באמצעות צו אלוהי.

• יוצר אמת: ה’ משמש כיוצר האמת עבור היגדים מתמטיים – המציאות שהופכת טענות מתמטיות לאמיתיות.

פילוסופים שונים מדגישים היבטים שונים של יחס הביסוס הזה. עבור לייבניץ, אמיתות מתמטיות קיימות בהבנתו של ה’. עבור אוגוסטינוס, הן קיימות בתודעה האלוהית. עבור אקווינס, הן היבטים של החוכמה האלוהית. עבור פלנטינגה, הן מחשבות או מושגים אלוהיים.

אנו מספקים גם הוכחה חדשנית לכך שה’ הוא הבסיס או היסוד של האמת המתמטית באמצעות לוגיקה מודאלית, שהיא עמידה יותר בפני ביקורת.

הטיעון מציע שללא ה’, אמיתות מתמטיות היו:

• ישויות אפלטוניות מרחפות ללא הסבר
• מוסכמות אנושיות בלבד החסרות הכרחיות אמיתית
• עובדות גולמיות ללא הסבר
• לא קיימות

יחס הביסוס מציע הסבר מטאפיזי מדוע לאמיתות מתמטיות יש את המאפיינים המיוחדים שלהן: הכרחיות, נצחיות, בלתי משתנות, ומובנות. העובדה שההכרחיות של אמיתות מתמטיות יכולה להיות מוסברת רק על ידי פנייה לה’ כיוצרן מספקת סיבה נוספת לומר שרציונלי יותר להאמין בה’ מאשר לא.

מקורות

אוגוסטינוס מהיפו. (395 לספירה/1993). De Libero Arbitrio (על הבחירה החופשית של הרצון) (כרכים ספר II, פרקים 8-15). (ת. ויליאמס, מתרגם) הוצאת האקט.

באנסן, ג.ל. (1998). האפולוגטיקה של ון טיל: קריאות וניתוח. הוצאת פרסביטריאן ורפורמד.

דמבסקי, ו.א. (1999). תכנון תבוני: הגשר בין מדע לתיאולוגיה. הוצאת אינטרוורסיטי.

דקארט, ר. (1641/1984). הגיגים על הפילוסופיה הראשונית, ההגיג החמישי. בתוך הכתבים הפילוסופיים של דקארט (ג’. קוטינגהם, ר. סטוטהוף, ו-ד. מרדוך, מתרגמים, כרך 2, עמ’ 44-49). הוצאת אוניברסיטת קיימברידג’.

אוקלידס. (1908/ מקור בערך 300 לפנה”ס). שלושה עשר הספרים של יסודות אוקלידס. (ת. הית’, מתרגם) הוצאת אוניברסיטת קיימברידג’.

גדל, ק. (1931). על משפטים בלתי כריעים פורמלית של פרינקיפיה מתמטיקה ומערכות קשורות I. Monatshefte für Mathematik und Physik, 38, 173–198.

גדל, ק. (1947). מהי בעיית הרצף של קנטור? The American Mathematical Monthly, 54(9), 515-525. doi:10.1080/00029890.1947.11990229

הילברט, ד. (1925/1983). על האינסוף. בתוך פ. בנסרף, ו-ה. פטנם (עורכים), פילוסופיה של מתמטיקה: קריאות נבחרות (מהדורה 2, עמ’ 183-201). הוצאת אוניברסיטת קיימברידג’.

קאנט, ע. (1787). ביקורת התבונה הטהורה (מהדורה 2 (מהדורת B)).

לייבניץ, ג. (1686//1991). שיח על מטאפיזיקה. בתוך ר. אריו, וד. גרבר (עורכים), מסות פילוסופיות (כרכים סעיפים 2, 13, ו-30, עמ’ 35-68). הוצאת האקט.

לובצ’בסקי, נ.י. (1829–1830). עקרונות חדשים של גיאומטריה עם תורה שלמה של מקבילים.

מהר”ל, (1582). גבורות השם. פרנקפורט דמיין.

מיל, ג’.ס. (1843). מערכת של לוגיקה, רציונלית ואינדוקטיבית.

פנרוז, ר. (2004). הדרך למציאות: מדריך מלא לחוקי היקום. ג’ונתן קייפ.

פלנטינגה, א. (1980). האם יש לאלוהים טבע? הוצאת אוניברסיטת מרקט.

פלנטינגה, א. (1982). כיצד להיות אנטי-ריאליסט. Proceedings and Addresses of the American Philosophical Association, 56(1), 47-70. doi:10.2307/3131293

אפלטון. (1925/ המאה ה-4 לפנה”ס). טימיאוס. בתוך כתבי אפלטון בשנים עשר כרכים (כרך 9). (ו. למב, מתרגם) הוצאת אוניברסיטת הרווארד.

פולקינגהורן, ג’. (1991). תבונה ומציאות: היחס בין מדע לתיאולוגיה. הוצאת טריניטי פרס אינטרנשיונל.

רשב”א, (1997/ מקור 1470). שו”ת הרשב”א (כרכים כרך א’, סימן תי”ח). (ח. דימיטרובסקי, עורך) ירושלים: מוסד הרב קוק.

התכתבות לייבניץ-קלארק: יחד עם קטעים מתוך פרינקיפיה ואופטיקס של ניוטון. (1956). בעריכת ה.ג. אלכסנדר. הוצאת אוניברסיטת מנצ’סטר.

צמח צדק. (1912). ספר החקירה. ירושלים.

ון טיל, ק. (1955). הגנת האמונה. הוצאת פרסביטריאן ורפורמד.

ויגנר, א.פ. (1960). היעילות הבלתי סבירה של המתמטיקה במדעי הטבע. Communications in Pure and Applied Mathematics, vol. 13(1), 1–14.

ויטגנשטיין, ל. (1956/1978). הערות על יסודות המתמטיקה. בעריכת ג.ה. פון רייט, ר. ריס, וג.א. אנסקומב. הוצאת MIT.

נספח

להלן ייצוג של טיעוננו בן ששת השלבים באמצעות שפת הלוגיקה המודאלית (הפרופוזיציונית) – בפרט, מערכת נורמלית חזקה לפחות כמו S5 (המשמשת לעתים קרובות ל”הכרחיות מטאפיזית”). קוראים שאינם מכירים את הסימבוליזם של לוגיקה מודאלית יכולים לדלג בבטחה למסקנה.

1. זיהוי הטענות המרכזיות

יש לנו את ההיגדים באנגלית הבאים:

1. ה’ הוא ישות אין-סופית בהכרח.
2. ה’ הוא ישות הכרחית (הוא קיים בהכרח בכל העולמות האפשריים).
3. אמיתות מתמטיות הן אמיתיות בהכרח (הן קיימות בכל העולמות האפשריים).
4. אם אמיתות מתמטיות היו קיימות מחוץ לה’, זה היה מגביל את נוכחותו המוחלטת של ה’ בכל העולמות האפשריים, בסתירה לאין-סופיותו של ה’ (הנחה 1).
5. לכן, אמיתות מתמטיות קיימות בהכרח בה’.
6. לכן, ה’ הוא היסוד של האמת המתמטית.

אנו רוצים לבטא טענות אלה כנוסחאות מודאליות. נציג סמלים פרופוזיציונליים ונשתמש, היכן שנדרש, באופרטורים מודאליים סטנדרטיים:

□ϕ נקרא, “ϕ הוא אמת בהכרח.”

◊ϕ נקרא, “ϕ הוא אמת באפשרות.”

אנו גם מניחים “ה’ קיים” או “ה’ נוכח” במובן מודאלי כלשהו – המבוטא בדרך כלל כ-□G
(“ה’ קיים בהכרח”) אם G = “אלוהים קיים.”

בחירות סימון:

1. נסמן □L = “ה’ הוא אין-סופי בהכרח (נוכח בכל מקום, לא מוגבל בשום עולם).”
2. נסמן □EG = “ה’ הוא ישות הכרחית” (כלומר, ה’ קיים בכל העולמות האפשריים).
3. נסמן □M = “אמיתות מתמטיות הן אמיתיות בהכרח” (הן תקפות בכל עולם אפשרי).
4. נסמן In(M, G) = “אמיתות מתמטיות קיימות בה’.” (זה מבטא “ה’ הוא היסוד או המקום של אמיתות מתמטיות” או “מתמטיקה לא קיימת מחוץ לה'”)

ההצהרה המכרעת על אין-סופיות (הנחה 4) יכולה להיות מפורמלת לומר: “אם M היה מחוץ לה’, זה היה מרמז על ¬L.” בלוגיקה פרופוזיציונית, נוכל להתייחס ל”M מחוץ לאלוהים” כפרופוזיציה נפרדת O. אבל, מכיוון שאנו קושרים זאת להכרחיות/אפשרות, אנו מעדיפים תנאי: “□M ∧ Outside(M,G) ⇒ ¬L“.

בהתחשב בכל זאת, להלן הגרסה הפורמלית של הטיעון שלי.

טיעון מפורמל בלוגיקה מודאלית

הצגה סימבולית מזוקקת עשויה להיראות כך:

□L (“ה’ הוא אין-סופי בהכרח.”)

□EG (“ה’ קיים בהכרח.”)

□M “אמיתות מתמטיות הן אמת.”

(□M ∧ Outside(M,G))→¬L (“אם אמיתות מתמטיות היו קיימות מחוץ לה’ בכל עולם, זה היה סותר את אין-סופיותו של ה’.”

□ In(M,G) (“לכן, אמיתות מתמטיות קיימות בהכרח בה’.”)

F (או “□ In(M,G) → F”) (“מכאן, ה’ הוא היסוד של האמת המתמטית.”)

אנו יכולים לציין ש-(5) נובע מכך שמ-(4) ו-(1), אנו שוללים את האפשרות של “Outside(M,G)”, כך שהאפשרות היחידה שנותרת היא “In(M,G)” – ועם □M, זה מוביל ל-“□In(M,G)”. אז (6) הוא יותר פרשנות תיאולוגית או מטאפיזית של (5).

הערות על תקפות לעומת נכונות

תקפות: הטיעון לעיל הוא טיעון תקף בלוגיקה מודאלית פרופוזיציונית (עם כללי היסק נורמליים). כלומר, אם נקבל כל הנחה כאמיתית, אז המסקנות נובעות לוגית.

נכונות: השאלה האם ההנחות עצמן אמיתיות היא סוגיה פילוסופית או תיאולוגית נפרדת. למשל, מבקר עשוי לערער על רעיון ה’ האין-סופי בטענה שהגדרה כזו עשויה להיות לא קוהרנטית. עם זאת, פורמלית, יש לנו קבוצת הנחות עקבית שמובילה למסקנה בלוגיקה מודאלית סטנדרטית.

1. סיכום

צורה סימבולית תמציתית, העקבית עם היסק בסגנון S5, יכולה להיראות כך:

1. □L (“ה’ הוא אין-סופי בהכרח”)
2. □EG(“ה’ קיים בהכרח”)
3. □M (“אמיתות מתמטיות תקפות,”)
4. (□M ∧ Outside(M,G))→¬L (“אם אמיתות מתמטיות היו קיימות מחוץ לה’, זה היה סותר את 1”)
5. ∴□ In(M,G) (“לפיכך, אמיתות מתמטיות קיימות באלוקים,”)
6. ∴F. (“לפיכך, אלוקים הוא היסוד לאמת המתמטית.”)

שלבים (5) ו-(6) נובעים מ-(1) – (4) על פי כללים סטנדרטיים של לוגיקה פרופוזיציונית מודאלית (מודוס טולנס, הפצת הכרחיות וכו’), עם כל הנחת גישור מינורית ש-“□ In(M,G) מרמז שאלוקים הוא יסודי למתמטיקה.” בהתחשב בכך שאלוקים המוחלט זהה לתכונותיו האלוקיות, ולכן “שכל האלוקים” זהה למהותו של אלוקים, אנו יכולים לראות שבסוף הגרסה שלנו לטיעון, אנו מגיעים לאותה מסקנה כמו פלנטינגה, אך ללא ההנחה השנייה בטיעון שלו שעשויה להיות מאותגרת.

© 2025 אלכסנדר פולטורק. כל הזכויות שמורות.